初一几何证明题及答案

篇一:《初中经典几何证明练习题(含答案)》

初中几何证明题

经典题（一）

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二）

证明：过点G作GH⊥AB于H，连接OE

∵EG⊥CO，EF⊥AB

∴∠EGO=90°，∠EFO=90°

∴∠EGO+∠EFO=180°

∴E、G、O、F四点共圆

∴∠GEO=∠HFG

∵∠EGO=∠FHG=90°

∴△EGO∽△FHG ∴EOGO= FGHG

∵GH⊥AB，CD⊥AB

∴GH∥CD GOCO HGCD

EOCO∴ FGCD∴

∵EO=CO

∴CD=GF

2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。

求证：△PBC是正三角形．（初二）

证明：作正三角形ADM，连接MP

∵∠MAD=60°，∠PAD=15°

∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75°

∵∠BAD=90°，∠PAD=15°

∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°

∴∠BAP=∠MAP

∵MA=BA，AP=AP

∴△MAP≌△BAP

∴∠BPA=∠MPA，MP=BP

同理∠CPD=∠MPD，MP=CP

∵∠PAD＝∠PDA＝15°

∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75°

∵BA=CD

∴△BAP≌∠CDP

∴∠BPA=∠CPD

∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD

∴∠MPA=∠MPD=75°

∴∠BPC=360°-75°×4=60°

∵MP=BP，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC是正三角形

3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN

于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

证明:连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG

∵CN=DN，CG=DG

∴GN∥AD，GN=1AD 2

∴∠DEN=∠GNM

∵AM=BM，AG=CG

∴GM∥BC，GM=1BC 2

∴∠F=∠GMN

∵AD=BC

∴GN=GM

∴∠GMN=∠GNM

∴∠DEN=∠F

经典题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．

（1）求证：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）

证明：（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG⊥AD于G

∵OG⊥AF

∴AG=FG

⌒ =AB⌒ ∵AB

∴∠F=∠ACB

又AD⊥BC，BE⊥AC

∴∠BHD+∠DBH=90°

∠ACB+∠DBH=90°

∴∠ACB=∠BHD

∴∠F=∠BHD

∴BH=BF又AD⊥BC

∴DH=DF

∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD

又AD⊥BC，OM⊥BC，OG⊥AD

∴四边形OMDG是矩形

∴OM=GD ∴AH=2OM

（2）连接OB、OC

∵∠BAC=60∴∠BOC=120°

∵OB=OC，OM⊥BC

∴∠BOM=1∠BOC=60°∴∠OBM=30° 2

∴BO=2OM

由（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO

2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.

求证：AP＝AQ．

证明：作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QF

∵AG⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°

又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF

即∠PAE=∠QAF

∵E、F、C、D四点共圆

∴∠AEF+∠FCQ=180°

∵EF⊥AG，PQ⊥AG

∴EF∥PQ

∴∠PAF=∠AFE

∵AF=AE

∴∠AFE=∠AEF

∴∠AEF=∠PAF 在△AEP和△AFQ中

∵∠PAF+∠QAF=180° ∠AFQ=∠AEP

∴∠FCQ=∠QAF AF=AE

∴F、C、A、Q四点共圆 ∠QAF=∠PAE

∴∠AFQ=∠ACQ ∴△AEP≌△AFQ

又∠AEP=∠ACQ ∴AP=AQ

∴∠AFQ=∠AEP

3、设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q． 求证：AP＝AQ．（初二）

证明：作OF⊥CD于F，OG⊥BE于G，连接OP、OQ、OA、AF、AG

∵C、D、B、E四点共圆

∴∠B=∠D，∠E=∠C

∴△ABE∽△ADC ∴ABBE2BGBG ADDC2FDDF

∴△ABG∽△ADF

∴∠AGB=∠AFD

∴∠AGE=∠AFC

∵AM=AN，

∴OA⊥MN

又OG⊥BE，

∴∠OAQ+∠OGQ=180°

∴O、A、Q、E四点共圆

∴∠AOQ=∠AGE

同理∠AOP=∠AFC

∴∠AOQ=∠AOP

又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA

∴△OAQ≌△OAP

∴AP=AQ

4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC

求证：BC=2OP（初二）

证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N

∵OF=OD，DN∥OP∥FL

∴PN=PL

∴OP是梯形DFLN的中位线

∴DN+FL=2OP

∵ABFG是正方形

∴∠ABM+∠FBL=90°

又∠BFL+∠FBL=90°

∴∠ABM=∠BFL

又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB

∴△BFL≌△ABM

∴FL=BM

同理△AMC≌△CND

∴CM=DN

∴BM+CN=FL+DN

∴BC=FL+DN=2OP

经典题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．

求证：CE＝CF．（初二）

证明：连接BD交AC于O。过点E作EG⊥AC于G

∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC又EG⊥AC

∴BD∥EG又DE∥AC

∴ODEG是平行四边形

又∠COD=90°

∴ODEG是矩形

∴EG=OD=111BD=AC=AE 222

∴∠EAG=30°

∵AC=AE

∴∠ACE=∠AEC=75°

又∠AFD=90°-15°=75°

∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC

∴CE=CF

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F． 求证：AE＝AF．（初二）

证明：连接BD，过点E作EG⊥AC于G

∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC，又EG⊥AC

∴BD∥EG又DE∥AC

1∴ODEG是平行四边形 ∴∠CAE=∠CEA=∠GCE=15° 又∠COD=90° 2

在△AFC中∠F =180°-∠FAC-∠ACF ∴ODEG是矩形

=180°-∠FAC-∠GCE 111∴EG = OD =BD=AC=CE =180°-135°-30°=15° 222

∴∠F=∠CEA ∴∠GCE=30°

∴AE=AF ∵AC=EC

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

求证：PA＝PF．（初二）

证明：过点F作FG⊥CE于G，FH⊥CD于H

∵CD⊥CG ∴HCGF是矩形

∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG

∴HCGF是正方形

∴CG=GF

∵AP⊥FP 设AB=x，BP=y，CG=z

∴∠APB+∠FPG=90° z：y=（x-y+z）：x

∵∠APB+∠BAP=90° 化简得（x-y）·y=（x-y）·z

∴∠FPG=∠BAP ∵x-y≠0

又∠FGP=∠PBA ∴y=z

∴△FGP∽△PBA 即BP=FG

∴FG：PB=PG：AB ∴△ABP≌△PGF

4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D． 求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）

证明：过点E作EK∥BD，分别交AC、AF于M、K，取EF的中点H，

连接OH、MH、EC

∵EH=FH

∴OH⊥EF，∴∠PHO=90° ∴EM=KM

又PC⊥OC，∴∠POC=90° ∵EK∥BD ∴P、C、H、O四点共圆 OBAOOD∴ ∴∠HCO=∠HPO EMAMKM又EK∥BD，∴∠HPO=∠HEK ∴OB=OD

∴∠HCM=∠HEM 又AO=CO

∴H、C、E、M四点共圆 ∴四边形ABCD的对角

∴∠ECM=∠EHM 线互相平分

又∠ECM=∠EFA ∴ABCD是平行四边形

∴∠EHM=∠EFA ∴AB=DC，BC=AD

∴HM∥AC

∵EH=FH

篇二:《初中数学几何证明经典试题(含答案)》

初中几何证明题

经典题（一）

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．

E

A B

D O F

2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．

A D 求证：△PBC是正三角形．

C B

3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、

CC1、DD1的中点．

D

求证：四边形A2B2C2D2是正方形． DAA1

1

C

B2 2

C

4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC

的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

第 1 页 共 15 页

B

经典题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O

（1）求证：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．

2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A及D、E，直线EB及

CD分别交MN于P、Q． 求证：AP＝AQ．

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN

于P、Q．

求证：AP＝AQ．

4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．

求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．

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F

经典题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．

求证：CE＝CF．

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．

求证：AE＝AF．

3、设P是正方形ABCD一边

求证：PA＝PF．

4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEFB

、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．

第 3 页 共 15 页

经典题（四）

1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，

求：∠APB的度数．

2、设P

是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA． 求证：∠PAB＝∠PCB．

3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·

4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．

经典难题（五）

第 4 页 共 15 页

1、 设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC， 求证：

≤L＜2．

2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．

4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．

经典题（一）

1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,

第 5 页 共 15 页

篇三:《初中平面几何证明题及答案》

九年级数学练习题

１.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG

求证：S△ABCS△

AEG

２.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG。若O为EG的中点 求证:EG=2AO

３. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若O为EG的中点，OA的延长线交BC于点H

求证：OH⊥

BC

４. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若AH⊥BC，HA的延长线交EG于点O

求证：O为EG的中点

5. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接CE，BG、GE

M、N、P、Q分别是EG、GB、BC、CE的中点

求证：四边形MNPQ是正方形

答案： 1. 作CM⊥AB于点M

，EN⊥GA，交GA的一次性于点N

∵∠MAN=∠CAE=90°

∴∠CAM=∠EAN

∵∠ANE=∠CMA=90°，AC=AE

∴△ACM≌△AEN

∴CM=EN

∵S△ABC=1/2*AB *CM，S△AGE=1/2*AG*EN

又∵AG=AB，CM=EN

∴S△ABC=S△AEG

2. 证明：

延长AO到点M，使OM=OA，连接MG、ME

则四边形AEMG是平行四边形

∴GM=AE=AC，MG‖AE

∴∠MGA+∠GAE=180°

∵∠BAG+∠CAE=180°

∴∠BAC+∠GAE=180°

∴∠BAC=∠AGM

∵AC=AB

∴△AGM≌△BAC

∴BC=AM=2AO

3. OA与OH共线，所以向量AO与向量BC的数量积为0即可证出AH⊥BC

我用AB表示向量AB，即此时字母AB都有方向性，下边的都是如此，

2AO=AG+GE

过A作直线BC的平行线交FG于M，交DE于N，

2AO*BC

=(AG+AE)*BC

=AG*BC+AE*BC

=-|AG||BC|cos∠GAM+|AE||BC|cos∠EAN

=|BC|*(-|AB|*sin∠MAB+|AC|*sin∠NAC)

=|BC|*(-|AB|sin∠ABC+|AC|sin∠ACB)

设BC上的高长为h,

上式=|BC|(-h+h)=0

所以AO与BC垂直，即AH⊥BC

5. 连结BE、CG，

∵PQ是△BEC的中位线，

∴PQ//BE，且PQ=BE/2，

同理MN//BC，MN=BE/2，

∴MN=PQ，且MN//PQ，

∴四边形PQMN是平行四边形，

同理MQ=PN=CG/2，{初一几何证明题及答案}.

在△BAE和△GAC中，

BA=GA，

AC=AE，

∵〈BAG=〈CAE=90°，

〈BAG+〈BAC=〈CAE+〈BAC，

∴〈BAE=〈GAC，

∴△BAE≌△GAC，（SAS），

∴BE=CG，

∴BE/2=CG/2，

∴PQ=MQ，

∴四边形PQMN是菱形，

设CG和BE相交于O

〈AEB=〈ACG，（全等三角形对应角相等），

则A、O、C、E四点共圆，（共用AO底，同侧顶角相等的二三角形四点共圆） 〈EOC=〈EAC=90°，

∴BE⊥CG，

∴PQ⊥MQ，

∴四边形PQMN是正方形。

篇四:《精选初中数学几何证明经典试题(含答案)》

初中几何证明题

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO求证：CD＝GF．（初二） E

A B

D O F

2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． A D 求证：△PBC是正三角形．（初二）

C B

4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN＝∠F．

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． （1）求证：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝60，求证：AH＝AO．（初二）

2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．

求证：AP＝AQ．（初二）

3、如果上题把直线MN设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE求证：AP＝AQ．（初二）

N

4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC，点P是EF的中点．

求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．

F

经典题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F． 求证：CE＝CF．（初二）

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线

求证：AE＝AF．（初二）

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF求证：PA＝PF．（初二）

4、如图，PC切圆O于C

，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC

，BC＝AD．（初三）

经典题（四）

1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，求：∠APB的度数．（初二）

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA． 求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）

4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）

D

经典题（一）

1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得

EOGOCO

==,GFGHCD

又CO=EO，所以CD=GF得证。

2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得 △DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形