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初一几何证明题及答案

admin 初一作文 2020-04-22 23:54:18 求证正方形

篇一:《初中经典几何证明练习题(含答案)》

初中几何证明题

经典题(一)

1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO. 求证:CD=GF.(初二)

证明:过点G作GH⊥AB于H,连接OE

∵EG⊥CO,EF⊥AB

∴∠EGO=90°,∠EFO=90°

∴∠EGO+∠EFO=180°

∴E、G、O、F四点共圆

∴∠GEO=∠HFG

∵∠EGO=∠FHG=90°

∴△EGO∽△FHG ∴EOGO= FGHG

∵GH⊥AB,CD⊥AB

∴GH∥CD GOCO HGCD

EOCO∴ FGCD∴

∵EO=CO

∴CD=GF

2、已知:如图,P是正方形ABCD内部的一点,∠PAD=∠PDA=15°。

求证:△PBC是正三角形.(初二)

证明:作正三角形ADM,连接MP

∵∠MAD=60°,∠PAD=15°

∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75°

∵∠BAD=90°,∠PAD=15°

∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°

∴∠BAP=∠MAP

∵MA=BA,AP=AP

∴△MAP≌△BAP

∴∠BPA=∠MPA,MP=BP

同理∠CPD=∠MPD,MP=CP

∵∠PAD=∠PDA=15°

∴PA=PD,∠BAP=∠CDP=75°

∵BA=CD

∴△BAP≌∠CDP

∴∠BPA=∠CPD

∵∠BPA=∠MPA,∠CPD=∠MPD

∴∠MPA=∠MPD=75°

∴∠BPC=360°-75°×4=60°

∵MP=BP,MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC是正三角形

3、已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN

于E、F.

求证:∠DEN=∠F.

证明:连接AC,取AC的中点G,连接NG、MG

∵CN=DN,CG=DG

∴GN∥AD,GN=1AD 2

∴∠DEN=∠GNM

∵AM=BM,AG=CG

∴GM∥BC,GM=1BC 2

∴∠F=∠GMN

∵AD=BC

∴GN=GM

∴∠GMN=∠GNM

∴∠DEN=∠F

经典题(二)

1、已知:△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M.

(1)求证:AH=2OM;

(2)若∠BAC=600,求证:AH=AO.(初二)

证明:(1)延长AD交圆于F,连接BF,过点O作OG⊥AD于G

∵OG⊥AF

∴AG=FG

⌒ =AB⌒ ∵AB

∴∠F=∠ACB

又AD⊥BC,BE⊥AC

∴∠BHD+∠DBH=90°

∠ACB+∠DBH=90°

∴∠ACB=∠BHD

∴∠F=∠BHD

∴BH=BF又AD⊥BC

∴DH=DF

∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2(GH+DH)=2GD

又AD⊥BC,OM⊥BC,OG⊥AD

∴四边形OMDG是矩形

∴OM=GD ∴AH=2OM

(2)连接OB、OC

∵∠BAC=60∴∠BOC=120°

∵OB=OC,OM⊥BC

∴∠BOM=1∠BOC=60°∴∠OBM=30° 2

∴BO=2OM

由(1)知AH=2OM∴AH=BO=AO

2、设MN是圆O外一条直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E,连接CD并延长交MN于Q,连接EB并延长交MN于P.

求证:AP=AQ.

证明:作点E关于AG的对称点F,连接AF、CF、QF

∵AG⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°

又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF

即∠PAE=∠QAF

∵E、F、C、D四点共圆

∴∠AEF+∠FCQ=180°

∵EF⊥AG,PQ⊥AG

∴EF∥PQ

∴∠PAF=∠AFE

∵AF=AE

∴∠AFE=∠AEF

∴∠AEF=∠PAF 在△AEP和△AFQ中

∵∠PAF+∠QAF=180° ∠AFQ=∠AEP

∴∠FCQ=∠QAF AF=AE

∴F、C、A、Q四点共圆 ∠QAF=∠PAE

∴∠AFQ=∠ACQ ∴△AEP≌△AFQ

又∠AEP=∠ACQ ∴AP=AQ

∴∠AFQ=∠AEP

3、设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q. 求证:AP=AQ.(初二)

证明:作OF⊥CD于F,OG⊥BE于G,连接OP、OQ、OA、AF、AG

∵C、D、B、E四点共圆

∴∠B=∠D,∠E=∠C

∴△ABE∽△ADC ∴ABBE2BGBG ADDC2FDDF

∴△ABG∽△ADF

∴∠AGB=∠AFD

∴∠AGE=∠AFC

∵AM=AN,

∴OA⊥MN

又OG⊥BE,

∴∠OAQ+∠OGQ=180°

∴O、A、Q、E四点共圆

∴∠AOQ=∠AGE

同理∠AOP=∠AFC

∴∠AOQ=∠AOP

又∠OAQ=∠OAP=90°,OA=OA

∴△OAQ≌△OAP

∴AP=AQ

4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE,点O是DF的中点,OP⊥BC

求证:BC=2OP(初二)

证明:分别过F、A、D作直线BC的垂线,垂足分别是L、M、N

∵OF=OD,DN∥OP∥FL

∴PN=PL

∴OP是梯形DFLN的中位线

∴DN+FL=2OP

∵ABFG是正方形

∴∠ABM+∠FBL=90°

又∠BFL+∠FBL=90°

∴∠ABM=∠BFL

又∠FLB=∠BMA=90°,BF=AB

∴△BFL≌△ABM

∴FL=BM

同理△AMC≌△CND

∴CM=DN

∴BM+CN=FL+DN

∴BC=FL+DN=2OP

经典题(三)

1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.

求证:CE=CF.(初二)

证明:连接BD交AC于O。过点E作EG⊥AC于G

∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC又EG⊥AC

∴BD∥EG又DE∥AC

∴ODEG是平行四边形

又∠COD=90°

∴ODEG是矩形

∴EG=OD=111BD=AC=AE 222

∴∠EAG=30°

∵AC=AE

∴∠ACE=∠AEC=75°

又∠AFD=90°-15°=75°

∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC

∴CE=CF

2、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F. 求证:AE=AF.(初二)

证明:连接BD,过点E作EG⊥AC于G

∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC,又EG⊥AC

∴BD∥EG又DE∥AC

1∴ODEG是平行四边形 ∴∠CAE=∠CEA=∠GCE=15° 又∠COD=90° 2

在△AFC中∠F =180°-∠FAC-∠ACF ∴ODEG是矩形

=180°-∠FAC-∠GCE 111∴EG = OD =BD=AC=CE =180°-135°-30°=15° 222

∴∠F=∠CEA ∴∠GCE=30°

∴AE=AF ∵AC=EC

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE.

求证:PA=PF.(初二)

证明:过点F作FG⊥CE于G,FH⊥CD于H

∵CD⊥CG ∴HCGF是矩形

∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG

∴HCGF是正方形

∴CG=GF

∵AP⊥FP 设AB=x,BP=y,CG=z

∴∠APB+∠FPG=90° z:y=(x-y+z):x

∵∠APB+∠BAP=90° 化简得(x-y)·y=(x-y)·z

∴∠FPG=∠BAP ∵x-y≠0

又∠FGP=∠PBA ∴y=z

∴△FGP∽△PBA 即BP=FG

∴FG:PB=PG:AB ∴△ABP≌△PGF

4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D. 求证:AB=DC,BC=AD.(初三)

证明:过点E作EK∥BD,分别交AC、AF于M、K,取EF的中点H,

连接OH、MH、EC

∵EH=FH

∴OH⊥EF,∴∠PHO=90° ∴EM=KM

又PC⊥OC,∴∠POC=90° ∵EK∥BD ∴P、C、H、O四点共圆 OBAOOD∴ ∴∠HCO=∠HPO EMAMKM又EK∥BD,∴∠HPO=∠HEK ∴OB=OD

∴∠HCM=∠HEM 又AO=CO

∴H、C、E、M四点共圆 ∴四边形ABCD的对角

∴∠ECM=∠EHM 线互相平分

又∠ECM=∠EFA ∴ABCD是平行四边形

∴∠EHM=∠EFA ∴AB=DC,BC=AD

∴HM∥AC

∵EH=FH

篇二:《初中数学几何证明经典试题(含答案)》

初中几何证明题

经典题(一)

1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO. 求证:CD=GF.

E

A B

D O F

2、已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=150.

A D 求证:△PBC是正三角形.

C B

3、如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、

CC1、DD1的中点.

D

求证:四边形A2B2C2D2是正方形. DAA1

1

C

B2 2

C

4、已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC

的延长线交MN于E、F.

求证:∠DEN=∠F.

第 1 页 共 15 页

B

经典题(二)

1、已知:△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O

(1)求证:AH=2OM;

(2)若∠BAC=600,求证:AH=AO.

2、设MN是圆O外一直线,过O作OA⊥MN于A,自A及D、E,直线EB及

CD分别交MN于P、Q. 求证:AP=AQ.

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:

设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN

于P、Q.

求证:AP=AQ.

4、如图,分别以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.

求证:点P到边AB的距离等于AB的一半.

第 2 页 共 15 页

F

经典题(三)

1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.

求证:CE=CF.

2、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.

求证:AE=AF.

3、设P是正方形ABCD一边

求证:PA=PF.

4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEFB

、D.求证:AB=DC,BC=AD.

第 3 页 共 15 页

经典题(四)

1、已知:△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,

求:∠APB的度数.

2、设P

是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA. 求证:∠PAB=∠PCB.

3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:AB·CD+AD·BC=AC·

4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且 AE=CF.求证:∠DPA=∠DPC.

经典难题(五)

第 4 页 共 15 页

1、 设P是边长为1的正△ABC内任一点,L=PA+PB+PC, 求证:

≤L<2.

2、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.

3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.

4、如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=800,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA=300,∠EBA=200,求∠BED的度数.

经典题(一)

1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆,所以∠GFH=∠OEG,

第 5 页 共 15 页

篇三:《初中平面几何证明题及答案》

九年级数学练习题

1.如图,分别以△ABC的边AB、AC为边,向外作正方形ABFG和ACDE,连接EG

求证:S△ABCS△

AEG

2.如图,分别以△ABC的边AB、AC为边,向外作正方形ABFG和ACDE,连接EG。若O为EG的中点 求证:EG=2AO

3. 如图,分别以△ABC的边AB、AC为边,向外作正方形ABFG和ACDE,连接EG,若O为EG的中点,OA的延长线交BC于点H

求证:OH⊥

BC

4. 如图,分别以△ABC的边AB、AC为边,向外作正方形ABFG和ACDE,连接EG,若AH⊥BC,HA的延长线交EG于点O

求证:O为EG的中点

5. 如图,分别以△ABC的边AB、AC为边,向外作正方形ABFG和ACDE,连接CE,BG、GE

M、N、P、Q分别是EG、GB、BC、CE的中点

求证:四边形MNPQ是正方形

答案: 1. 作CM⊥AB于点M

,EN⊥GA,交GA的一次性于点N

∵∠MAN=∠CAE=90°

∴∠CAM=∠EAN

∵∠ANE=∠CMA=90°,AC=AE

∴△ACM≌△AEN

∴CM=EN

∵S△ABC=1/2*AB *CM,S△AGE=1/2*AG*EN

又∵AG=AB,CM=EN

∴S△ABC=S△AEG

2. 证明:

延长AO到点M,使OM=OA,连接MG、ME

则四边形AEMG是平行四边形

∴GM=AE=AC,MG‖AE

∴∠MGA+∠GAE=180°

∵∠BAG+∠CAE=180°

∴∠BAC+∠GAE=180°

∴∠BAC=∠AGM

∵AC=AB

∴△AGM≌△BAC

∴BC=AM=2AO

3. OA与OH共线,所以向量AO与向量BC的数量积为0即可证出AH⊥BC

我用AB表示向量AB,即此时字母AB都有方向性,下边的都是如此,

2AO=AG+GE

过A作直线BC的平行线交FG于M,交DE于N,

2AO*BC

=(AG+AE)*BC

=AG*BC+AE*BC

=-|AG||BC|cos∠GAM+|AE||BC|cos∠EAN

=|BC|*(-|AB|*sin∠MAB+|AC|*sin∠NAC)

=|BC|*(-|AB|sin∠ABC+|AC|sin∠ACB)

设BC上的高长为h,

上式=|BC|(-h+h)=0

所以AO与BC垂直,即AH⊥BC

5. 连结BE、CG,

∵PQ是△BEC的中位线,

∴PQ//BE,且PQ=BE/2,

同理MN//BC,MN=BE/2,

∴MN=PQ,且MN//PQ,

∴四边形PQMN是平行四边形,

同理MQ=PN=CG/2,{初一几何证明题及答案}.

在△BAE和△GAC中,

BA=GA,

AC=AE,

∵〈BAG=〈CAE=90°,

〈BAG+〈BAC=〈CAE+〈BAC,

∴〈BAE=〈GAC,

∴△BAE≌△GAC,(SAS),

∴BE=CG,

∴BE/2=CG/2,

∴PQ=MQ,

∴四边形PQMN是菱形,

设CG和BE相交于O

〈AEB=〈ACG,(全等三角形对应角相等),

则A、O、C、E四点共圆,(共用AO底,同侧顶角相等的二三角形四点共圆) 〈EOC=〈EAC=90°,

∴BE⊥CG,

∴PQ⊥MQ,

∴四边形PQMN是正方形。

篇四:《精选初中数学几何证明经典试题(含答案)》

初中几何证明题

1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO求证:CD=GF.(初二) E

A B

D O F

2、已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=150. A D 求证:△PBC是正三角形.(初二)

C B

4、已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F. 求证:∠DEN=∠F.

1、已知:△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M. (1)求证:AH=2OM;

(2)若∠BAC=60,求证:AH=AO.(初二)

2、设MN是圆O外一直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条直线,交圆于B、C及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q.

求证:AP=AQ.(初二)

3、如果上题把直线MN设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE求证:AP=AQ.(初二)

N

4、如图,分别以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC,点P是EF的中点.

求证:点P到边AB的距离等于AB的一半.

F

经典题(三)

1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F. 求证:CE=CF.(初二)

2、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线

求证:AE=AF.(初二)

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF求证:PA=PF.(初二)

4、如图,PC切圆O于C

,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D.求证:AB=DC

,BC=AD.(初三)

经典题(四)

1、已知:△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,求:∠APB的度数.(初二)

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA. 求证:∠PAB=∠PCB.(初二)

4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且 AE=CF.求证:∠DPA=∠DPC.(初二)

D

经典题(一)

1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆,所以∠GFH=∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得

EOGOCO

==,GFGHCD

又CO=EO,所以CD=GF得证。

2. 如下图做△DGC使与△ADP全等,可得△PDG为等边△,从而可得 △DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=150 所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC是正三角形

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