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证明线线平行

admin 初一作文 2020-04-23 00:26:18 平面平行

证明线线平行(一)

证明线线平行(二)

证明线线平行(三)

线与线平行的证明

一。定义:同在一个平面内,不相交的两条直线平行。

二。利用几何图形:三角形中中位线、边成比例,平行四边形等 三。公理四,平行于同一条直线的两条直线。 四。线面平行的性质 五。面面平行的性质。

一例1.设平面α、β、γ,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,且a//b. 求证:a∥b∥c.

二例2. 如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,E,F分别是PA,BD上的点且PE∶EABF∶FD,求证:EF//平面PBC.

答案:证明:连结AF并延长交

于.连结,

BFMFPEBFPEMF

,又由已知,∴. FDFAEAFDEAFA

由平面几何知识可得EF//PM,又EFPBC,PM平面PBC, ∴EF//平面PBC

. ∵AD//BC,∴

E,F分别是棱BC,C1D1的中点,求二。例3. 如图,在正方体ABCDA1BC11D1中,

证:EF//平面BB1D1D.

答案:证明:如图,取D1B1的中点O,连接OF,OB,

11

∵OF 平行且等于B1C1,BE平行且等于B1C1,

22

∴OF 平行且等于BE,则OFEB为平行四边形,

∴EF//BO.

∵EF平面BB1D1D,BO平面BB1D1D, ∴EF//平面BB1D1D.

三、四第1题. 已知a,m,b,且m//,求证:a//b. 答案:证明:

m



m//m//aa//b.

a同理m//b

第9题. 如图,在正方体ABCDA1BC11D1中,试作出过AC且与直线D1B平行的截面,并说明理由.

答案:解:如图,连接DB交AC于点O,取D1D的中点M,连接MA,MC,则截面MAC即为所求作的截面.

∵MO为△D1DB的中位线,∴D1B//MO.

∵D1B平面MAC,MO平面MAC,

∴D1B//平面MAC,则截面MAC为过AC且与直线D1B平行的截面.

第20题. 如图,在四棱锥PABCD中,ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点.

求证:MN//平面PAD.

答案:证明:如图,取CD的中点E,连接NE,ME ∵M,N分别是AB,PC的中点,

∴NE//PD,ME//AD,

可证明NE//平面PAD,ME//平面PAD. 又NEMEE,

∴平面MNE//平面PAD,

又MN平面MNE,∴MN//平面PAD.

第7题. 如图,已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M为PB的中点, 求证:PD//平面MAC.

答案:证明:连接AC、BD交点为O,连接MO,则MO为△BDP的中位线,

∴PD//MO.

∵PD平面MAC,MO平面MAC,∴PD//

平面MAC.

证明线线平行(四)

证明线线平行的方法:

1.垂直于同一平面的两条直线平行

2.平行于同一直线的两条直线平行

3.一个平面与另外两个平行平面相交,那么2条交线也平行

4.两条直线的方向向量共线,则两条直线平行

5.线面平行的性质定理:一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

证明线面平行的方法:

1.直线与平面平行的判定性定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。

2.平面与平面平行的性质定理:如果两个平面是平行,那么在其中一个平面内的直线和另一个平面平行。

证明面面平行的方法: 1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。

2.面面平行的传递性:如果两个平面都和第三个平面平行,则这两个平面平行。

3.垂直与同一直线的两个平面平行。

4.利用向量法证明。

证明线线垂直的方法:

1.定义法:两直线夹角90度

2.三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直

3.直线与平面的定义:若1条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面的所有直线

4.法向量:在空间直角坐标系中,三点两向量确定一个平面,分别于这两个向量垂直的向量也就是分别与这两个向量乘积为0的向量垂直于这个平面,也就叫这个平面的法向量。

证明线面垂直的方法:

1.直线垂直于平面内两条相交直线,则线与面垂直。

2.两条平行线一条垂直于平面,则另一条也垂直于这个平面。

3.如果两个面垂直,则其中一个面内垂直交线的线垂直另一个平面。

4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平

面。

5.

1来证。

6.

证明面面垂直的方法:

1.定义:两个平面相交,它们所成的二面角是直二面角。

2.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直。

12.设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A1A3A1A2 (λ∈R),

且A1A4A1A2(μ∈R),1

1

o),D(d,2,则称A3,A4调和分割A1,A2 ,已知点C(c,

O) (c,d∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是

(A)C可能是线段AB的中点

(B)D可能是线段AB的中点

(C)C,D可能同时在线段AB上

(D) C,D不可能同时在线段AB的延长线上

【答案】D

【解析】由A1,A2,A3,A4在1A3A1A2 (λ∈R),A1A4A1A2(μ∈R)知:四点A

同一条直线上,

因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且

如图,在四棱台ABCDA1B1C1D1

中,D1D平面ABCD,底面112, 故选D. cd

ABCD是平行四边形,AB=2AD,

AD=A1B1,BAD=60°

(Ⅰ)证明:AA1BD;

(Ⅱ)证明:CC1∥平面A1BD.

【解析】(Ⅰ)证明:因为AB=2AD,所以设

AD=a,则AB=2a,又因为BAD=60°,所以在ABD中,由余弦定理得:BD2(2a)2a22a2acos603a2,所以

,所以AD2BD2AB2,故BD⊥AD,又因为

D1D平面ABCD,所以D1DBD,又因为ADD1DD, 所以BD平面ADD1A1,故AA1BD.

ABCD是平行四边形得:O是AC的中点,由四(2)连结AC,设ACBD=0, 连结AO1,由底面

棱台ABCDA1B1C1D1知:平面ABCD∥平面A1B1C1D1,因为这两个平面同时都和平面

BC=a, 

ABC=120,ACACAC11相交,交线分别为AC、AC11,故AC11,又因为AB=2a,

所以可由余弦定理计算得

,又因为A1B1=2a, B1C1

=a, A1B1C1=120,所以2

可由余弦定理计算得A1C1

=a,所以A1C1∥OC且A1C1=OC,故四边形OCC1A1是平行四边形,2

所以CC1∥A1O,又CC1平面A1BD,A1O平面A1BD,所以CC1∥平面A1BD.

20.(本小题满分12分)

等比数列an中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.

(Ⅰ)求数列an的通项公式;

(Ⅱ)若数列bn满足:bnan(1)lnan,求数列bn的前2n项和S2n.

【解析】(Ⅰ)由题意知a12,a26,a318,因为an是等比数列,所以公比为3,所以数列an的通项公式an23n1.

(Ⅱ)因为bnan(1)lnan=23n1(1)ln23n1, 所以Snb1b2

=bn =(a1a2an)(lna1lna2

3n1)= lnan)2(13n)13-lna1a2an3n1-ln(2n13132

31-ln(23nnn(n1)2),所以S2n=31-ln(232n2n2n(2n1)2)=9n1-2nln2(2n2n)ln3.

15.(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1).

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;

(2)设实数t满足(ABtOC)·OC=0,求t的值.

16. (本小题满分14分)

如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900.

(1)求证:PC⊥BC;

(2)求点A到平面PBC的距离.

19.(本小题满分16分)

设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,已知2a2a1a3,数列

为d的等差数列.

(1)求数列an的通项公式(用n,d表示)

(2)设c为实数,对满足mn3k且mn的任意正整数m,n,k,不等式S是公差n

9SmSncSk都成立,求证:c 的最大值为.

2

证明线线平行(五)

证明线线平行(六)

证明线线平行(七)

证明线线平行主要的方法:

1、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AA1求证: AC1//平面BDE。

D1

C1

2、已知正方体ABCDA1B1C1D1,O是底ABCD对角

线的交点.

求证:(1) C1O∥面AB1D1

D

C

DA1

D

BBC1

C

3、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G分别是AB、

AD、C1D1的中点.求证:平面D1EF∥平面BDG. 引出:

4、如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是DAB600且边长为a的菱形,侧面

PAD是等边三角形,且平面PAD垂直于底面ABCD. (1)若G为AD的中点,求证:BG平面PAD; (2)求证:ADPB;

5、(2012年佛山一模)

如图,三棱锥PABC中,PB底面ABC,

BCA90, PBBCCA4,E为PC的中点, M为AB的中点,点F在PA上,且AF2FP. (1)求证:BE平面PAC; (2)求证:CM//平面BEF; (3)求三棱锥FABE的体积. 6、(2012年广州一模 文)如图,在三棱锥PABC中

ABBC平面PAC平面ABC,PDAC于点D,

AD1,CD3,PD2.

(1)求三棱锥PABC的体积; (2)证明△PBC为直角三角形.

A

D图5

8、(2011深圳调研)如图,在四棱锥SABCD中,ABAD,

平面SAD平面ABCD,M是线段ADAB//CD,CD3AB,

上一点,AMAB,DMDC,SMAD. (1)证明:BM平面SMC;

(2)设三棱锥CSBM与四棱锥SABCD的体积分别为V1与V

V,求1的值.

V

A BM

C

9.如图甲,在平面四边形ABCD中,已知A45,C90,ADC105,ABBD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD平面BDC(如图乙),设点E、F分别为棱AC、AD的中点.

(1)求证:DC平面ABC;

A

(2)设CDa,求三棱锥A-BFE的体积.

F

BD

B

D C乙

10、(2012深圳一模)如图,直角梯形

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