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郑州2013-2014下期期末高二数学

admin 高二作文 2020-04-23 00:15:18 函数小题

郑州2013-2014下期期末高二数学

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满分:150分

一、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)

1.已知集合 , ,则 ( )

A. B.(1,3) C.(1, ) D.(3, )

2.若复数 (a∈R,i为虚数单位位)是纯虚数,则实数a的值为( )

A.-2 B.4 C.-6 D.6

3.已知命题 :“ ”,命题 :“ ”.

若命题“ 且 ”是真命题,则实数 的取值范围为( )

A. 或 B. 或

C. D.

4.若f(x)=x2-2x-4ln x,则f′(x)>0的解集为(  )

A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞)

C.(2,+∞) D.(-1,0)

5.用数学归纳法证明:“1+a+a2+…+an+1=1-an+21-a(a≠1,n∈N*)”在验证n=1时,左端计算所得的项为( )

A.1 B.1+a

C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3

6.曲线y=sin xsin x+cos x-12在点M π4,0处的切线的斜率为(   )

A.-12 B.12 C.-22 D.22

7.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为(   )郑州2013-2014下期期末高二数学

A.112 B.14 C.13 D.712

8.设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f-52=(  )

A.-12 B.-14 C.14 D.12

9.如图,在一个长为π,宽为2的矩形OABC内,曲线y=sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分,向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是(  )

A.1π B.2π C.π4 D.3π

10.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小值为(   )

A.1 B.2 C.22 D.3

11. 幂函数y=xa,当a取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图象三等分,即有|BM|=|MN|=|NA|.那么,αβ=(   )

A.1 B.2 C.3 D.无法确定

12.已知 符号 表示不超过 的最大整数,若函数 有且仅有3个零点,则 的取值范围是( )

A. B. C. D.

二、 填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.)

13.函数f(x)=x3-3×2+1的递增区间是________.

14. 已知复数z=3+i(1-3i)2,则|z|=________.

15.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=________.

16.设函数f(x)=xx+2(x>0)

观察:f1(x)=f(x)=xx+2,f2(x)=f(f1(x))=x3x+4,f3(x)=f(f2(x))=x7x+8,

f4(x)=f(f3(x))=x15x+16,……根据以上事实,由归纳推理可得:

当n∈N*且n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))=________.

三、 解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)

17. (本题满分10分).已知圆的极坐标方程为: .

(Ⅰ)将极坐标方程化为普通方程;

(Ⅱ)若点 在该圆上,求 的最大值和最小值.

18. (本题满分12分)设f(x)=2×3+ax2+bx+1的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=-12对称,且f′(1)=0.

(Ⅰ)求实数a,b的值;

(Ⅱ)求函数f(x)的极值.

19.(本题满分12分) 已知曲线 : ( 为参数), : ( 为参数).

(Ⅰ)化 , 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

(Ⅱ)若 上的点 对应的参数为 , 为 上的动点,求 中点 到直线 : ( 为参数)距离的最小值.

20. (本题满分12分)在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y,记ξ=|x-2|+

|y-x|.

(Ⅰ)求随机变量ξ的最大值,并求事件“ξ取得最大值”的概率;

(Ⅱ)求随机变量ξ的分布列.

21.(本小题满分12分)如图,在四棱锥 中,底面 为直角梯形,且 , ,侧面 底面 . 若 .

(Ⅰ)求证: 平面 ;

(Ⅱ)侧棱 上是否存在点 ,使得 平面 ?若存在,指出点 的位置并证明,若不存在,请说明理由;

(Ⅲ)求二面角 的余弦值.

22.(本小题满分12分)已知函数

(Ⅰ)试判断函数 的单调性;

(Ⅱ)设 ,求 在 上的最大值;

(Ⅲ)试证明:对 ,不等式 .

哈四中2015届高二下学期期末考试

数学(理)答案

四、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)

18.解 (1)a=3. b=-12. ………………6分

(2)函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,

在x2=1处取得极小值f(1)=-6. ………………12分

两式平方相加消去参数 ,得曲线 的普通方程为: . 为中心是坐标原点,焦点在 轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.………………6分

(Ⅱ)因为 上的点 对应的参数为 ,故 ,又 为 上的点,所以 ,故 中点为 .

故随机变量ξ的最大值为3,事件“ξ取得最大值”的概率为29.(6分)

(2)ξ的所有取值为0,1,2,3.

∵ξ=0时,只有x=2,y=2这一种情况,

ξ=1时,有x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3四种情况,

ξ=2时,有x=1,y=2或x=3,y=2两种情况.

ξ=3时,有x=1,y=3或x=3,y=1两种情况.

∴P(ξ=0)=19,P(ξ=1)=49,P(ξ=2)=29,

P(ξ=3)=29.(10分)

则随机变量ξ的分布列为:

ξ 0 1 2 3

P 19

49

29

29

(12分)

21. (Ⅰ)因为 ,所以 .

又因为侧面 底面 ,且侧面 底面 ,

所以 底面 .

而 底面 ,

所以 .

在底面 中,因为 , ,

所以 , 所以 .

又因为 , 所以 平面 . ……………………………4分

(Ⅱ)在 上存在中点 ,使得 平面 ,

证明如下:设 的中点是 ,

连结 , , ,

则 ,且 .

由已知 ,郑州2013-2014下期期末高二数学

所以 . 又 ,

所以 ,且 ,

所以四边形 为平行四边形,所以 .

因为 平面 , 平面 ,

所以 平面 . ……………8分

(Ⅲ)由已知, 平面 ,所以 为平面 的一个法向量.

由(Ⅱ)知, 为平面 的一个法向量.

设二面角 的大小为 ,由图可知, 为锐角,

所以.

即二面角 的余弦值为 . ………………………………12分

22.解:(I)函数 的定义域是:

由已知 ………………………………1分

令 得, ,

当 时, ,当 时,

函数 在 上单调递增,在 上单调递减…………………3分

即对 ,不等式 恒成立;…………………………12分

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