郑州2013-2014下期期末高二数学

郑州2013-2014下期期末高二数学

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满分：150分

一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)

1.已知集合 ， ，则 ( )

A. B.(1，3) C.(1， ) D.(3， )

2.若复数 (a∈R，i为虚数单位位)是纯虚数，则实数a的值为( )

A.-2 B.4 C.-6 D.6

3.已知命题 ：“ ”，命题 ：“ ”.

若命题“ 且 ”是真命题，则实数 的取值范围为( )

A. 或 B. 或

C. D.

4.若f(x)=x2-2x-4ln x，则f′(x)>0的解集为( 　)

A.(0，+∞) B.(-1,0)∪(2，+∞)

C.(2，+∞) D.(-1,0)

5.用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=1-an+21-a(a≠1，n∈N*)”在验证n=1时，左端计算所得的项为( )

A.1 B.1+a

C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3

6.曲线y=sin xsin x+cos x-12在点M π4，0处的切线的斜率为(　 　)

A.-12 B.12 C.-22 D.22

7.由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为(　 　)郑州2013-2014下期期末高二数学

A.112 B.14 C.13 D.712

8.设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=2x(1-x)，则f-52=( 　)

A.-12 B.-14 C.14 D.12

9.如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y=sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( 　)

A.1π B.2π C.π4 D.3π

10.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小值为(　 　)

A.1 B.2 C.22 D.3

11. 幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有|BM|=|MN|=|NA|.那么，αβ=(　 　)

A.1 B.2 C.3 D.无法确定

12.已知 符号 表示不超过 的最大整数，若函数 有且仅有3个零点，则 的取值范围是( )

A. B. C. D.

二、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.)

13.函数f(x)=x3-3×2+1的递增区间是________.

14. 已知复数z=3+i(1-3i)2，则|z|=________.

15.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(-∞，4]，则该函数的解析式f(x)=________.

16.设函数f(x)=xx+2(x>0)

观察：f1(x)=f(x)=xx+2，f2(x)=f(f1(x))=x3x+4，f3(x)=f(f2(x))=x7x+8，

f4(x)=f(f3(x))=x15x+16，……根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N*且n≥2时，fn(x)=f(fn-1(x))=________.

三、 解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)

17. (本题满分10分).已知圆的极坐标方程为： .

(Ⅰ)将极坐标方程化为普通方程;

(Ⅱ)若点 在该圆上，求 的最大值和最小值.

18. (本题满分12分)设f(x)=2×3+ax2+bx+1的导数为f′(x)，若函数y=f′(x)的图象关于直线x=-12对称，且f′(1)=0.

(Ⅰ)求实数a，b的值;

(Ⅱ)求函数f(x)的极值.

19.(本题满分12分) 已知曲线 ： ( 为参数)， ： ( 为参数).

(Ⅰ)化 ， 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;

(Ⅱ)若 上的点 对应的参数为 ， 为 上的动点，求 中点 到直线 ： ( 为参数)距离的最小值.

20. (本题满分12分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ=|x-2|+

|y-x|.

(Ⅰ)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率;

(Ⅱ)求随机变量ξ的分布列.

21.(本小题满分12分)如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，且 ， ，侧面 底面 . 若 .

(Ⅰ)求证： 平面 ;

(Ⅱ)侧棱 上是否存在点 ，使得 平面 ?若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由;

(Ⅲ)求二面角 的余弦值.

22.(本小题满分12分)已知函数

(Ⅰ)试判断函数 的单调性;

(Ⅱ)设 ，求 在 上的最大值;

(Ⅲ)试证明：对 ，不等式 .

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数学(理)答案

四、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中,只有一个选项是符合题目要求的.)

18.解　(1)a=3. b=-12. ………………6分

(2)函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21，

在x2=1处取得极小值f(1)=-6. ………………12分

两式平方相加消去参数 ，得曲线 的普通方程为： . 为中心是坐标原点，焦点在 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.………………6分

(Ⅱ)因为 上的点 对应的参数为 ，故 ，又 为 上的点，所以 ，故 中点为 .

故随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为29.(6分)

(2)ξ的所有取值为0,1,2,3.

∵ξ=0时，只有x=2，y=2这一种情况，

ξ=1时，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况，

ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况.

ξ=3时，有x=1，y=3或x=3，y=1两种情况.

∴P(ξ=0)=19，P(ξ=1)=49，P(ξ=2)=29，

P(ξ=3)=29.(10分)

则随机变量ξ的分布列为：

ξ 0 1 2 3

P 19

49

29

29

(12分)

21. (Ⅰ)因为 ，所以 .

又因为侧面 底面 ，且侧面 底面 ，

所以 底面 .

而 底面 ，

所以 .

在底面 中，因为 ， ，

所以 ， 所以 .

又因为 ， 所以 平面 . ……………………………4分

(Ⅱ)在 上存在中点 ，使得 平面 ，

证明如下：设 的中点是 ，

连结 ， ， ，

则 ，且 .

由已知 ，郑州2013-2014下期期末高二数学

所以 . 又 ，

所以 ，且 ，

所以四边形 为平行四边形，所以 .

因为 平面 ， 平面 ，

所以 平面 . ……………8分

(Ⅲ)由已知， 平面 ，所以 为平面 的一个法向量.

由(Ⅱ)知， 为平面 的一个法向量.

设二面角 的大小为 ，由图可知， 为锐角，

所以.

即二面角 的余弦值为 . ………………………………12分

22.解：(I)函数 的定义域是：

由已知 ………………………………1分

令 得， ，

当 时， ，当 时，

函数 在 上单调递增，在 上单调递减…………………3分

即对 ，不等式 恒成立;…………………………12分