函数图像比喻

篇一:《用比喻法来学 – 集合与函数》

第一章集合与函数

第一节 集合

一、集合的概念

你母亲超市买了一篮子的苹果回来，装在篮子里的苹果形成了一个集合。

高一(7)班的班的同学58个同学集中在一起也形成了一个集合. 把小于5的正整数集中在一起也形成了一个集合。

把我们关注的对象装在篮子里，集中在班上，集中在一起等等就形成了一个集合。可见集合有两个要素：①关注的对象②“篮子”（ 集中在一起）。

在表示集合的时候要把关注的对象装在 “篮子”，我们用大括号来表示“篮子”，例如小于5的正整数集中在一起所形成的集合可以记作：{1，2，3，4}。这里的1，2，3，4就叫做集合的元素。

如果把一篮子的苹果形成的集合记作A，a是篮子里的一个苹果，这时a就是A的元素，可以记作a∈A(读作a属于A)，如果b不是篮子的苹果，可以记作b不∈A。

方程x^2-1=0的根装在 “篮子”也形成这个集合可以记作 {-1，1}，这个集合叫做方程x^2-1=0的解集。象这样表示集合的

方法叫做列举法。当一个集合的元素不多时用列举法来表示是很方便的。但是如果一个集合的元素很多时，就难以列举了。例如不等式3x-12>0的解集中有无数个实数就不能一一列举出来了，我们可以把这个集合表示成{x|3x-12>0}，在竖线左边的x叫做元素代表符，右边的不等式表示元素x应满足的条件。这种表示集合的方法叫做描述法。 集合有两个要素①是元素②是“篮子”（大括号）。例如{3}就是一个集合，它是只有一个元素的集合。实数3是这个集合的元素。因此{3}与3是不同的，前者为集合后者为元素。

在用列举法表示集合时元素的顺序可以更换，例如{1，2，3，4}与集合{1，4，2，3}表示同一个集合，这一条叫做元素的无序性。

一般地如果两个集合A与B的元素完全相同我们说这两个集合相等记作A=B。

方程x^2-x-2=0的解集用描述法列可表示为{ x|x^2-x-2=0}

用列举法可表示为{2，-1}，于是我们可以得到{ x|x^2-x-2=0}= {2，-1}，同样的道理 {x|x是小于3的自然数}={0，1，2}

集合{x| (x-3)(x^2-4x+4)=0}表示方程(x-3)(x^2-4x+4)=0的解集，虽然方程x^2-4x+4=0有两个相等的实根，但这个集合只有两个元素1和2此外无其它元素了，于是用列举法表示时只能记作

{1，2}，不能记为{1，2，2}。这个原则叫做元素的互异性。

我们看一下“集合”A={ x|x是老人}，在这里我们无法确定一个50岁的人到底是不是“集合”A的元素，数学中研究问题是要有确定性的，于是{ x|x是老人}不能算做一个集合。集合的元素应该是能够界定的，任何一个东西要么是这个集合的元素，要么不是这个集合中的元素。这个原则叫做元素的确定性。

为了方便我们把几重要的集合用特定的字母表示，自然数集记为N，正整数集记为N+，整数集记为Z，有理数集记为Q，实数集记为R。

{x|x是小于3的自然数}就可记为{ x|x<3,且x∈N}或记作 {x∈N|x<3 }

笔记：

1、集合意思：把我们关注的对象集中在一起就形成了一个集合。 每个关注的对象就叫做集合的元素，如果集合用字母A表示，b是集合A的元素可以记作b∈A，b不是集合A的元素就记作b不∈A。

2、集合的表示：列举法与描述法，例如方程x^2-x-2=0的解集 用描述法记为{ x|x^2-x-2=0}

用列举法记为{2，-1}

3、集合元素的三要素：无序性、互异性、确定性。

4、两个集合相等：如果两个集合A与B的元素完全相同我们说这两个集合相等记作A=B。

5、常用的集合：自然数集N，正整数集N+，整数集集Z，有理数集Q，实数集R。

篇二:《函数是数学的灵魂》

函数是数学的灵魂

在二十世纪初英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导下函数进入了中学数学，克莱因提出了一个重要思想－－以函数的思想和概念统一数学教学内容，他认为“函数应该是数学教育的灵魂，以函数为中心，将全部数学内容集中在它周围，进行充分的综合函数思想是用变量和函数来思考问题的方法。运动变量与曲线的描述，催生了函数思想，函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习运用中抽象出的带有观念性的指导方法。

函数是始终贯穿在中学数学学习这个过程当中的。我们在小学阶段就渗透过，到了初中正式出现，到了高中我们将再次深入研究。

函数是主线，我们可以理解函数这个内容应该是贯穿中学课程的一个基本主线。

在义务教育阶段，我们把孩子带入数学的殿堂，数、图形都是吸引我们孩子进入数学殿堂的重要的载体。另外还有一个就是量。因为孩子们在日常生活中会碰到大量的不同的量。既有常量，也有变量。那么这些量是引发学生对数学进行思考的一个重要的动力。

数学学习中，我们不仅要认识各种各样的量，更要认识变量与变量之间的关系。首先建立的这个量与量之间的关系，是最基本的一个模型。比如说是路程、速度和时间的关系，是我们的孩子大概在三年级、四年级就开始了解。当速度一定的时候，时间的变化可以引起路程的变化。通常我们的公式是s=vt。虽然当时没有说函数，但是我们通过这样的具体的实例，已经在孩子的心目中种下了函数的种子。在七年级学生就已经学会了用表格、用关系式、用图像三种表示两个变量之间的关系。第二个跳跃应该是在八、九年级学习正比例函数、一次函数、二次函数和反比例函数。在这个基础上，我们又开始认识到，函数是一个基本的概念。它强化了量与量之间的一种特殊的关系。通过研究它的定义、图像、性质及在现实生活的应用，我们加深了对函数的认识。

除了对函数的认识之外，我们也帮助孩子去了解函数与方程、函数与不等式之间的关系， 成为了我们对函数认识的基础。在义务教育阶段大家可以看出，无论是内容、形式及作用，那么函数和函数的思想已经成为我们义务教育阶段数学课程的一个主线。

函数是代数的灵魂 ,其思想和方法辐射到代数式、方程、不等式、求极限、几何等数学领域，它是培养学生逻辑思维能力和辨证唯物主义观念的好素材。函数建立中的模型思想，函数观点，是学生可以从运动变化的角度认识原来静止的事物。函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想，是“数”与“形”的统一体，蕴涵了变化与对应的数学思想。

三种函数的共性一方面既凸显了函数的数形结合思想、对应思想，由解析式画函数图象，从解析式、表格、图象三个角度看性质，从函数角度培养学生的几何直观，另一方面又让学生感觉到函数的研究方法有一定的模式。因此，我们教师在初中函数的教学中，应该注意以下几方面的问题：

一、教师要有效地引导学生认识函数

函数是数学知识体系发展中必不可少的组成部分，同时也是为了满足客观的实际需要而存在的。所以说，在教师进行初中函数教学时，首先要让学生对函数有充分的了解和全面的把握，这是学生学习函数的首要任务。

教师在对函数进行讲述时，最先要做的就是让学生了解函数的含义和本质，这一过程可以通过引用生活实例来进行讲解，加深学生对函数的理解，接下来可以采取“数形结合”的

方法，用图像将函数变量展现出来，进一步加深学生对函数的理解，使学生对函数有一个整体的、基础的把握，为进一步的学习做好充分的准备。

二、教师要让学生掌握“相互联系，运动发展”的数学理念

初中数学中，函数能够有效地将两个变量之间相互依存的关系表现出来，这两个变量之间，一个变量会随着另一个变量的变化而产生变化，并且可以互相牵制、互相影响。所以说，教师在进行初中函数教学时，一定要培育学生们数学学科中相互联系、相互影响的理念，用运动发展的思维进行函数的学习。

在函数教学中，教师可以通过举例子、打比方的方式，采用形象的比喻来向学生展现函数中两个变量互相影响的关系，比如小学数学中最简单的求路程的问题，用速度乘以所花费的时间，就是所求的路程，在这一问题中，时间或者是速度的变化都会引起路程的变化，也就是说，路程是随着时间和速度的变化而变化的，即我们所说的“一个量会随着另一个量的变化而变化”。这样的例子，很容易就会让学生理解函数的基本理念，并且迅速理解变量与自变量之间的关系，进而对函数的学习有了最基本的学习理念。

函数中的变量之间的关系，与其他科目的关联性也是极大的，对函数的学习，会在很大程度上促进学生对其他科目的学习，进而提高学生对各个学习领域的融会贯通，全面提高学生的学习水平。

三、教师要让学生明确函数中抽象与个体之间的关系

任何一个学科中，都存在抽象与个体两种形式，函数也不例外。同数学中其他的概念相同，函数这一概念本身是具有抽象性的，它是对感性认识的高度凝练。首先，函数在现实中将数学的特征提炼出来，在这些特征中又抽取出一种抽象的关系，最终建立起函数关系，并对问题加以分析解决。

函数能够解决许多现实的问题，例如上文中我们提到的求程问题，函数将时间和速度等数据带入到函数的变量之中，进而求出路程这一变化结果。在教师对学生进行函数教学时，要充分考虑学生的知识水平和认知能力，并且采用丰富的教学方式，引用现实生活中的实例，以及采用先进的多媒体教学方法对学生进行讲授，将这种抽象性和个体性有效地结合在一起，并指导学生能够将函数运用到实际生活中去，进而找到问题的答案。

四、采用“数形结合”的有效教学方法

“数”和“形”是数学知识体系中两种最基本的概念。在函数教学中，教师通常采用“数形结合”的方法进行教学，将数量关系与图形有效地结合在一起，使它们能够互相表现、互相映衬，更好地将函数的变量关系表现出来。

在初中函数中，由于学生的知识积淀和认知能力受到年龄、生活环境等多方面因素的限制，对函数抽象性和个体性的理解是相当具有难度的，这就需要教师用学生最能理解、最能接受的方式进行教学。而“数形结合”就是一种最有效的教学方法，一方面，函数的变量关

系能够在绘制的图形中真实有效的被反映出来，另一方面，变量关系中也隐含着图像中所表达的信息，二者之间是互相体现、互相映衬的密切关系。

因此，在初中函数教学中，教师将“数”与“形”进行有效地结合、灵活地转化，使学生能够多角度、多层次地掌握函数知识，对函数知识有全面的把握，为他们日后的学习打下基础。

综上所述，初中函数是学生对函数学习的起步阶段，打好学习函数的基础是保证日后对更深层次函数学习的首要任务和根本性要求。

对初中函数的学习，一方面需要学生能够认识到函数的重要性，积极主动地学习函数。另一方面，也是必不可少的重要内容，就是教师的有效教学。教师要结合初中函数教学中应该注意的问题，采用丰富的教学手段，让学生多层面、多角度地了解函数，明确函数的概念和实质，以提高他们对函数的学习能力。

函数是连接初中数学与高中数学的纽带，起着承上启下的作用。除此之外，函数还能够将多个学科和现实生活有效地结合在一起，在社会各个领域都发挥着不同程度的影响。由此可见，学好初中数学对学生来说是极其重要的。

篇三:《函数：人类的一种重要的思维方式》

函数：人类的一种重要的思维方式{函数图像比喻}.

评生活与科学文库丛书《函数在你身边》

赵临龙

数学在人类社会的地位和作用越来越显出它的重要性，但数学对一般大众来说，又是那么的“恐惧”。这无不说明，由于我们的数学书籍过多的强调“理论”，而远离实际生活，使数学成为“抽象、难学、无用”的学科。因此，广大的教育工作者，应加强数学理论与实际生活的联系，使数学真正成为人们“锤炼思维、富有趣味、实用必学”的学科。

2001年2月，由科学出版社推出的生活与科学文库丛书《函数在你身边》（作者日本权平健一郎、神原武志，译者罗亮生、罗丽生），由浅入深地介绍了函数概念的内在本质及其应用，使人们清楚地看到函数在日常生活中的作用，深受人们的喜爱，从1982出版到1995年期间，此书在日本再版就达15次。

全书11万字，分4章讨论函数的问题。第1章《人与函数的关系》，通过举例，说明日常生活中哪些地方出现了函数，并叙述人们对函数的看法以及介绍函数发展的历史；第2章《函数用在哪些方面》，针对实际问题，指出函数的概念是如何被引入实际问题中的以及讨论了函数扮演了怎样的角色；第3章《如何表示函数》，从数学建模角度，介绍了如何从实际问题来建立函数表达形式的方法；第4章《掌握用函数表达思想的方法》，从数学思维的高度，指出了函数的本质以及说明了函数对人类社会的影响。{函数图像比喻}.

该书并不像其它数学书籍那样，仅仅阐述函数概念以及讨论函数计算中的一些技巧。作者明确指出，“函数的功能（作用）就是人类的思维”这一新观点，并采用“把数学式省略，让函数本身在日常生活中起作用”的方法，强调函数的“广义”作用。

具体来说，本书有以下特点：

1.生活中体现数学的趣味性

将日常生活的事用函数表达出来，体现数学源于生活，让人感受到函数的趣味性。

如用函数表示人的心脏形状；又如将高高的铁塔之间的电线的“悬链线”{函数图像比喻}.{函数图像比喻}.

用函数表达为；炮弹在真空中飞行的弹道的“抛物线”用一元二次多项式函数表达。再如大自然中，每隔76.02年绕太阳一周的哈雷慧星轨道表达为椭圆函数(隐函数)。而无法回归地球的彗星可沿“抛物线”（显函数）或“双曲函数”（隐函数）轨道离开地球。若将复杂的人声和乐器声，通过纯音合成为波形，并可用函数无限表达为正弦和余弦函数的迭加，也就是我们常说的富利叶级数展开。这些处理可以很好地激发读者的学习兴趣。

2．真实的研究结果利于指导学习

作者为便于人们对函数概念的正确认识，采取调研的方法，用数量回答问题，使人信服。如对“函数是什么”进行调研，大学生回答：（1）映射与对应有6人;

（2）把变量变换为的操作有7人；（3）表示因果关系有5人；（4）诸元素之间的关系的方程有8人;（5）表示自然与社会现象的数学式有5人。 可见，学生较多者，是将函数作为数学中的变量关系式，而将函数抽象为一种现实生活中的对应结构的较少。这与我国今天学生学习函数情况相一致，他们往往注重函数的外显形式――数学解析式，而忽视函数深层次的含义――对应思想。上述调查结果，无疑对注意加强函数内涵的教学，具有很好的说服力。

3．从史料中丰富函数的内涵

本书对函数的形成过程，做了细致的讨论，介绍了各个时期的函数概念，涉及到相关书籍：《国法词典》、《广辞花》、《百科事典》、《理论词典》及《中学数学自由自在》等。作者权平健一郎明确指出：“函数的内容在随时代而扩大，站在集合论的立场上，用对应、映射来描述函数是最好的倾向。”可见，从注意函数的形式结构，上升为重视函数的深刻思想的内在本质，才是把握函数的根本所在。

把握函数的本质，就是具有“函数意识”。作者权平健一郎将函数意识比喻为日本的剑道、柔道、和尚老道中的“道”，而道的精神在于思维，只有善于思维，才能有所创新。像笛卡儿抓住函数“对应”这一特征，创造性地将几何图形通过坐标与曲线方程建立对应关系。无怪数学家指出：“从最一般的意义上说，数学是‘关系’的科学”，这“关系”不就是深层的函数吗？

因此，人们常说：“数学是锻炼思维的体操，”而权平健一郎又指出：“函数的功能就是人类的思维。”因人类了解的事物就是了解它与其它事物的关系，“关系”的函数属性就是思维的本质。即函数般的表达思想本质是：发现事物之间的关系，至于这种关系是否能用数学式表达，则是次要的。实际上，在我们日常生活中，不能用数学式表达的函数情况比比皆是。

4．显示函数广泛的应用性

书本作为科普读物，但反映函数的应用却是多方面的，而且不乏高深的数学知识。如旋转体侧面积函数表达式的积分形式：{函数图像比喻}.

；

元素的衰变率的微分方程：

果的积分方程{函数图像比喻}.

；刺激现象结