2023高考最大作弊案

大家好！本文和大家分享一下这道2014年四川高考理科数学的压轴题。这是一道导数的综合题，考查了导数的计算、导数与函数单调性、导数与函数的最值、导数与函数零点等知识。作为压轴题，这道题的难度算是一般，并不是特别大，下面我们一起看一下这道题。

先看第一小问：求函数的最小值。

在大题里求复杂函数的最值，通常需要先用导数研究函数的单调性。

由f(x)=e^x-ax^2-bx-1可得，g(x)=f'(x)=e^x-2ax-b，所以g'(x)=e^x-2a。由于0≤x≤1，所以g'(x)的取值范围为[1-2a,e-2a]。

显然，当a≤1/2时，1-2a≥0，所以g'(x)≥0在[0,1]上恒成立，即g(x)在[0,1]上是单调递增函数，故此时g(x)的最小值为g(0)=1-b。

当a≥e/2时，e-2a≤0，所以g'(x)≤0在[0,1]上恒成立，即g(x)在[0,1]是单调递减函数，故此时g(x)的最小值为g(1)=e-2a-b。

接下来再讨论1/2＜a＜e/2的情况。令g'(x)=0，解得x=ln(2a)。由1/2＜a＜e/2可知0＜ln(2a)＜1。又因为g'(x)=e^x-2a是R上的增函数，所以在(0,ln(2a))上，g'(x)＜0，g(x)为减函数；在(ln(2a),1)上，g'(x)＞0，g(x)为增函数，所以此时g(x)的最小值为g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b。

再看第二小问：求参数a的取值范围。

由f(x)=e^2-ax^2-bx-1可得，f(0)=0。另外，题干已知f(1)=0，也就是说函数f(x)在区间[0,1]的端点的函数值都等于零，这种情况下要使函数f(x)在(0,1)上有零点，如下图中图1、图2不可能有零点，图3有一个零点，所以f(x)在(0,1)上至少有三个单调区间。

由(1)知，当a≤1/2时，1-b=f'(0)≤f'(x)≤f'(1)=e-2a-b。由f(1)=0可得，b=e-a-1，故2+a-e≤f'(x)≤1-a，而2+a-e＜0，1-a＞0，所以f'(x)可正可负。设f'(x0)=0，那么由于f'(x)在(0,1)上为增函数，所以在(0,x0)上，f'(x)＜0，在(x0,1)上，f'(x)＞0，所以此时f(x)在(0,1)上至多有两个单调区间，不满足条件。

同理，当a≥e/2时，也不满足要求。故1/2＜a＜e/2，此时f'(x)的最小值为f'(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b=3a-2aln(2a)+1-e。

接下来研究f'(ln(2a))的正负。将2a看成一个整体，构造新的函数h(x)=3x/2-xlnx+1-e。研究h(x)可以得到f'(ln(2a))＜0在(0,1)上恒成立，所以要使f(x)在(0,1)上至少有三个单调区间，那么f'(0)＞0且f'(1)＞0，从而解出a的取值范围。

作为压轴题，这道题的第二问还是有一定难度的，但是第一问的难度不大，如果要考上好大学，第一问的分是应该要拿到手的。