挖掘基本图形 突破思维节点——2020温州中考压轴题思路探析

挖掘基本图形 突破思维节点

基于2020年温州中考第24题的思路探析与解法赏析

俞卫胜1，吕小玲2

——本文发表在《中学数学教育》2020年第12期

摘要：经典的几何试题常伴随着基本图形的痕迹，可见基本图形非常重要，它是题中之源，之根.只有挖掘题根，才能从根本上解决问题.在平时的教学中，要善于引导学生挖掘基本图形,并加以积累、总结、内化,否则遇到复杂的图形，便会无从下手，找不到解决问题的方法.笔者对2020年温州中考数学第24题进行了剖析，通过挖掘、构造基本图形，突破思维的节点.

关键词：几何试题 思路探析 基本图形 解法赏析

2020年温州中考数学第24题，考查学生逻辑推理能力、综合运用能力以及探究能力，考查学生在变化过程中对图形的分析能力，考查学生对基本图形的挖掘能力.以动态问题为载体，以问题串的形式呈现试题，在解法上凸显多样性.笔者有幸参与第24题的阅卷工作，结合阅卷的感悟，本文从试题呈现、试题特色、思路探析、解法赏析这几方面进行了思考，并整理成文，供分享与研讨.

一、试题呈现

题目 如图1，已知点P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连结AP，BD，AP交⊙O于点E．

（1）求证：∠BPD=∠BAC．

（2）连结EB、ED，当tan∠MAN=2，AB=2?5时，在点P的整个运动过程中．

①若∠BDE=45°，求PD的长．

②若△BED为等腰三角形，求所有满足条件的BD的长．

（3）连结OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN=1，OC∥BE时，

记△OFP的面积为S1,△CFE的面积为S2，请写出S1：S2的值．

二、试题特色

此题属于动态探究性综合题，一个变化的角牵制线与线的关系，变化的点带动一组线的变化，看似无序的运动，实则动中有静，变中有不变，实现了动与静的完美融合。试题通过分层设问，逐步递进，将三角形、圆、三角函数、方程、轴对称等初中数学的核心知识融为一体，蕴藏着许多经典的基本图形，要求学生通过阅读理解、推理计算、分类讨论等方式进行研究，无论是对基础知识还是对数学思考能力、逻辑推理能力都有较高要求，充分体现了“知识与能力并重，思想与方法交融”的特点，凸显数学本质。

三、思路探析及解法赏析

（1）思路探析：本小题要证两个角相等，从所给条件及图形看，寻找或构造一对全等三角形证两个角相等是常用的思路，显然这个途径比较困难.于是想到找第三者建立两者之间的联系，图中∠BPC架起∠BPD与∠BAC的桥梁，如解法1.也可通过等角进行转移，如解法2.当然，若能挖掘A,C,P,B四点共圆这个隐含信息，利用圆内接四边形这个基本图形即可解决.

通过现有的角建立两者的联系外，还可以通过辅助线，构造基本图形，寻找它们之间的联系，由∠ABP=90°，想到构造“三垂图”，实现角的转移，如解法3，由BD//AC想到构造X型，A型相似图，利用∠G或∠H建立两者之间的联系，如解法4.5.在教学中，要引导学生从多角度思考，提倡一题多解，多解归一.这可提升学生逻辑推理的能力，加深学生对数学本质的理解.

解法1：如图2，因为PB⊥AM，PC⊥AN.所以∠ABP+∠ACP=90°+90°=180°.

易得∠1+∠3=180°. 又因为∠2+∠3=180°，所以∠2=∠1.即∠BPD=∠BAC.

解法2：如图2，因为PB为⊙O的直径，所以∠BDP=90°，即∠2+∠5=90°，易得BD//AC,所以∠1=∠4，而∠4+∠5=90°，所以∠2=∠1，即∠BPD=∠BAC.

解法3：（构造一线三等相似图）

如图3，过A作AK⊥DK交DB的延长线于点K.易得△AKB∽△BDP，可得∠KAB=∠PBD,易得∠KAB+∠BAC=90°，而∠PBD+∠DPB=90°.所以∠BPD=∠BAC.

解法4：（构造X型及斜A字相似图）

如图4，延长BP交AC的延长线于点G，易得△BDP∽△GCP∽△GBA可得∠BPD =∠GPC=∠BAC.

解法5：（构造A型相似图）如图5方法同上.

（2）①. 思路探析：本小题最关键的一步是利用“在同圆中，同弧所对的圆周角相等”这个基本图形得到△ABP为等腰直角三角形，然后利用勾股，相似，三角函数建立方程.由条件AB=2?5，tan∠MAN=2联想到“遇三角函数造直角”，通过“三垂图”的构造，架起已知与未知的联系.

解法1：利用勾股定理建立方程.

如图6，因为∠BPE=∠BDE=45°，而∠ABP=90°，所以△ABP是等腰直角三角形，所以BP=AB=2?5。由 tan∠BPD=tan∠MAN=2,可设PD=x,则BD=2x. 在Rt△BDP中，由勾股定理得

（2）②思路探析：本小题延续2020年的温州中考第24题的风格，在分类上难度降低了，消除学生分类不知如何分，分不全的思维盲点，注重解法的多样化，每一类解法的思路形成需要心中有个基本图形，能从复杂图形中透视出最基本的图形，从而实现各个量之间的联系.本题通过设元，用未知数的代数表示相关线段，并利用相似，勾股等建立方程.

每一种分类笔者都给出2种解法，其中各种分类的解法1通过等角转移，将△BED的三个内角转移到共顶点P的一个平角上，这个基本图形要在教学中加以内化.如图13中∠1，∠2，∠3三个圆周角可以转移到∠4，∠5,∠6组成一个平角，其中图8中BP及图11中AP充当着角平分线的角色，若能挖掘这层本质关系，问题将迎刃而解了.各种分类的解法2凸显圆的轴对称性，巧妙地实现了各个量之间的关系，当然第三种分类中的解法2涉及半角模型的构建以及后面分母有理化的过程，对学生来说存在一定的难度.

若△BED为等腰三角形，可分为三类进行分类讨论：

1.当BD=BE时，

解法1：如图8，易得∠EPB=∠BPD即tan∠EPB=tan∠BPD=2. 所以

（3）思路探析：本小题涉及三角形的中位线，等腰三角形及相似三角形等核心知识，要善于挖掘筝形OECP及十字架相似图（Rt△ACP∽Rt△COQ）这两个基本图形.利用十字架相似图建立线段之间的关系，从而求出面积的比值，如解法1，解法2.最后一小问，由于时间有限，有的学生通过猜想的方法加以解决，如解法3，很好地考查了学生直观想象的能力.

解法1：（通法）如图13，过点O作OD⊥CD交于点Q，由tan∠BPD=tan∠MAN=1设PD=2a,PC=b则BD=2a,AC=4a+b,OQ=PQ=a,CQ=a+b.易得Rt△ACP∽Rt△COQ,即AC?OQ=CP?CQ.所以（4a+b）

解法2：（特殊法）考虑到最后求比值，可以用特殊值法.

设CP=1,PD=BD=2a则方法同妙解1，可得a=0.5.下同，这样可简化运算.

解法3：（猜想法）由tan∠MAN=1,即∠MAN=45°，猜想45°的“12345”模型，这个证明可留给读者思考.

四、结束语

笔者认为，对一道动态几何压轴题的研究，先要研究其解法，特别是要思考这种解法是如何想到的.在此基础上，进行教学思考.在教学中，一要重视挖掘题中的基本图形，此题就包含着很多常见的基本图形，如相似图；二要重视数学思想方法的渗透，本题通过设元，用未知数的代数式表示相关的线段，并利用勾股定理建立方程，这种设元建立方程的思想非常重要.另外题中还涉及到分类讨论，数形结合等思想方法；三要提倡问题解法的多样化，一题多解，可以开阔学生思路，发散学生思维，使学生学会多角度分析和解决问题，在解题教学中，当呈现一种解法后，教师要及时追问一句：还有其它解法吗？学生由此展开不同思路的探究与交流；四要关注数学问题的本质内涵，现行中考试题加大了对数学问题本质的探究，弱化了对特殊技巧的考查，这需要教师在平时的解题教学中善于就问题进行分析、挖掘,寻到隐含在其中的本质内涵,才能有效地形成解题思路.

参考文献:

[1]刘家良.由形到质 异中求同 积淀思想：2020年天津市中考第25题评析及教学导向 [J],中国数学教育（初中版），2020（4）：58-60.

[2]俞卫胜. 从试题，解题赏析走向一题一课教学：以2020年温州卷第23题为例[J],中学数学（下），2020（2）.

[3]戴向阳. 质朴扬新，开放统一，立意能力：对一道中考压轴题的赏析[J],中学数学（下），2020（2）.

[4]俞卫胜. 关注基本图形 渗透数学思想：2020年浙江温州中考第24题解法赏析与教学启示[J],中学数学（下），2020（5）.

[5] 宋春，刘金英.研读中考试题 培养数学素养 提升解题能力：2020年天津市中考第24题的解题研究与反思[J],中国数学教育（初中版），2020（6）：46-48.

关于召开“2020中考数学模型教学研讨会”的通知

各市、县（区）教育局教研室、各初中：

新课程标准指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。

2020年的中考已经圆满结束。为了系统总结2020全国各地中考命题规律，为新学年的中考数学教学提供思想和方法借鉴，提高教学质量，承蒙各位兄弟学校的关怀和支持，以及各位数学爱好者的大力支持和需求，河南省播睿智教育信息咨询有限公司携手“挑战中考数学压轴题名师团”，将于2020年8月17-18日在古都郑州召开“2020年中考数学模型教学研讨会”。

一、参会对象

全国各地区初中数学教师、初中数学教研员、中学教务主任、数学教育爱好者。

二、研讨问题与活动项目

1、总结2020年全国中考数学命题的新动向

2、研讨2020年全国中考数学经典及热点题型

3、系统分析2020年中考数学命题特点及近几年中考数学命题热点及规律

4、研讨数学建模思想在教学中及中考中的地位与作用

5、研讨中考必考及必须掌握的数学模型及模型化教学

6、研讨预测2020年中考数学命题的新动向及应对新策略

7、中考数学课堂教学经验分享、数学沙龙

8、分享名师风采课堂，聆听特高级教师教学风采

9、中考复习备考经验及资料交流

10、初三数学教学系统化课程规划及教学设计探讨

三、拟邀请专家：

1、姚万里：河南省特级教师，河南省学术技术带头人，河南省首届骨干教师。《试题研究》《中学生数理化》《数学周刊》发表文章1000余篇，参编《试题研究》《中考面对面》《中考复习讲义》《一遍过》等教材教辅40余部

2、张 森：安徽省特级教师、正高级教师，分别获得“淮北市优秀教师”、 “安徽省优秀教师”，“淮北市中学数学学科带头人”等称号，淮北名师，荣获淮北市中学数学大赛一等奖。安徽省教师资格认定考官，安徽省首届优秀校长（教师）名师工作室首席负责人，淮北师范大学国培指导教师，淮北市初中数学继续教育授课教师，近三年进行地市级以上讲座或报告50余次。

3、敖勇：中学高级教师，河南省学术技术带头人，河南省级骨干教师，河南省教师培训师，在《中学数学教学参考》《中学生数理化》等数学刊物上发表论文30多篇。《试题研究》《金太阳考案》《中考帮》《金考卷45套》《黑白卷》《学霸》《1课3练》等图书的编委和作者之一，《中学数学教学参考》特约编辑。

4、俞卫胜：温州市教坛新秀，温州市教师知识竞赛一等奖，乐清市优质课一等奖，命题一等奖，在《中国数学教育》，《中学数学》，《中学数学杂志》等期刊发表20多篇文章，参与《中考数学复习微专题讲座》与《2020浙江中考试题研究》，《2020浙江中考试题研究》的编写．主编《初中数学解题研究－奇思妙解几何题》.在县、市级公开课、讲座20多次.多年来，致力于一线教学，对教学、试题命制及模型教学有独到的见解

5、况永胜，中学高级教师，几何画板课程建设、应用专家，四川省奥数金牌教练，四川省学科带头人，宜宾市名师，多次辅导的学生参加四川省数学竞赛获得一等奖。开发的几何画板应用新程序正在申请国家专利。多次担任四川、河南等省、市国培计划主讲教师，微课作品《抛物线翻折、平移的性质探究》获得四川省初中组特等奖。

6、王桥：《中学生数理化》特约编辑，“有趣的数学”栏目专栏作者，播睿智教育创始人，“挑战中考压轴题名师团”首席讲师，主编《非常教案》《中考面对面》《中招亮剑》《冲刺十招》《沙场秋点兵》《春季攻势》等多部教材教辅，《中学生数理化》《理科考试研究》等杂志发表论文200余篇

7、王勇战：“挑战中考压轴题名师团”首席讲师，原郑州外国语数学教研组长，“挑战中考压轴题”郑州教研基地理事长

8、赵志显：全国数学华杯赛竞赛优秀教练，世纪天成教育，天星教育，万唯教育，世纪华章教育等多家着名教育机构编辑，中考数学压轴原创题研究专家

9、神秘数学大咖......

四、会议议程：

说明：1、外地老师提前报到时间：8月16日下午14：:0:00——20:00

2、若因特殊情况，研讨顺序及内容会做适当调整

3、研讨会间隙会适时穿插有数学沙龙等相关活动

五、重点问题

1、研讨会时间：2020年8月17-18日（周六、周日）

2、研讨会地点：河南省郑州市登封市

3、来车路线：

（1）自驾：登封东下高速导航至天中大酒店

（2）火车站：东广场出——步行至郑州长途客运中心站（机场巴士2线）——新郑国际机场转机场巴士登封线——登封

（3）郑州飞机场：机场巴士登封线——登封

（4）郑州高铁东站：地铁5号线》——南五里堡站）转地铁2号线——（南四环站）转城郊线（新郑机场方向）——新郑国际机场站转机场巴士登封线——登封

（5）郑州客运总站：步行242米至地铁5号线（京广南路站）——（南五里堡站）转地铁2号线（南四环方向）——南四环站转城郊线（新郑机场方向）——新郑机场站（C口）转机场巴士登封线——登封

4、费用：

（1）会务费：680元/人；含教材资料费、培训费、专家费、场地费等，不含食宿；

（2）会务及食宿费：980元/人；含教材资料费、培训费、专家费、场地费等，含食宿（含17号午餐、晚餐，18号早餐、午餐及17号一晚上住宿）；

5、特别惊喜：

（1）《冲刺十招》《春季攻势》《沙场秋点兵》等老读者及参加过二轮备考研讨会的老客户亲情价：600元/人，含食宿900元/人；

（2）【挑战中考数学压轴题】核心成员600元/人，含食宿900元/人；

（3）参会老师均赠送最新版《沙场秋点兵》及相关资料；

（4）想参加8月17日晚几何画板培训的，自带笔记本电脑

六、报名方式

1、为了便于安排住宿，保证研讨效果，控制会场规模，本次会场限制参与人数300人，请各地相关学校和老师务必在2020年8月10日前将参加的人数报给主办单位负责人；

2、请务必携带好您的身份证等相关证件

3、报名以具体缴费为准。联系人：

（1）播睿智教育：

何老师18703810833（微信同号）

王老师13083669383（微信同号）

张老师18530923233（微信同号）

（2）世纪天成：

王老师18039220237（微信同号）

（3）天疆教育：

祁老师19903816886（微信同号）

（4）挑战中考压轴题名师团：

王老师13783616007（微信同号）

苏老师15037189129

河南省播睿智教育信息咨询有限公司

河南省世纪天成文化发展有限公司

河南天疆教育科技有限公司

“挑战中考数学压轴题”名师团

“挑战中考数学压轴题”郑州教研基地

2020年7月23日

附：中考二轮备考研讨会盛况

附：登封市旅游线路

登封历史厚重、文化灿烂。中国第一个朝代夏朝定都阳城，即今登封告成，“登封”、“告成”则因公元696年武则天“登”嵩山，“封”中岳，大功“告成”而得名，颁布诏书改嵩阳县为登封县，改阳城县为告成县。金代将两县合并为登封县。1994年经国务院批准登封县撤县设市。登封市境内的少林寺是中国功夫的发源地和佛教禅宗祖庭，被誉为“天下第一名刹”，中岳庙是五岳之中规模最大的道观，嵩阳书院则是北宋鸿儒程颢、程颐兄弟讲学之所，是宋明理学的发源地之一，中国古代四大书院之一。

登封市境内的天地之中历史建筑群是世界文化遗产、全国重点文物保护单位、国家AAAAA级旅游景区，分布于登封市嵩山腹地及周围，含有世界文化遗产8处11项，全国重点文物保护单位16处，河南省重点文物保护单位22处，各类珍贵文物6700多件。

天地之中历史建筑群历经周朝、汉朝、曹魏、西晋、北魏、隋朝、唐朝、五代、宋朝、金朝、元朝、明朝、清朝等朝代，绵延不绝，构成了一部古老的中原地区上下3000年形象直观的建筑史，是中国时代跨度最长、建筑种类最多、文化内涵最丰富的古代建筑群，是中国先民独特宇宙观和审美观的真实体现。天地之中历史建筑群以其高超的建筑学成就，代表了我国古代建筑制度的初创和形制典范，集中体现了人类杰出的创造力，具有世界性价值，以“天地之中”为基本理念的庙、阙、寺、塔、台和书院等集中体现了中国各代的礼制、宗教、科技、教育等建筑学成就，代表了我国传统文化3000多年的精华，是佛、道、儒三教的源头，也是三教集大成之地，是为中国多元文化的载体和典范。

联合国教科文组织第34届世界遗产大会2020年8月1日审议通过，将“天地之中”8处11项历史建筑列为世界文化遗产，包括少林寺建筑群（常住院、初祖庵、塔林）、东汉三阙（太室阙、少室阙、启母阙）和中岳庙、嵩岳寺塔、会善寺、嵩阳书院、观星台。

1、嵩山风景名胜区

游玩指南：中岳嵩山是中国五大名山之一，由太室山和少室山组成，这里拥有众多自然和人文景点，包括险要的峡谷、茂盛的森林和享誉世界的少林寺。

游玩时间：建议1-2天开放时间：景区开放时间8:00-18:00，其中景区内各景点开放时间详见景区现场公示。

门票价格：￥30?

2、嵩阳书院

嵩阳书院位于嵩山南麓、太室山脚下，坐北朝南，东、北、西三面峰峦环拱，溪水围合，南面开阔平缓。嵩阳书院2001年被国务院公布为第五批全国重点文物保护单位。嵩阳书院初建于北魏孝文帝太和八年（公元484年），时称嵩阳寺，隋大业八年（公元612年）更名为嵩阳观，作为道士的炼丹之地。唐高宗、武则天曾两次以嵩阳观为行宫，加以营造，并更名为奉天宫，中唐时还曾一度更名为天封观。宋景祐二年(1035年)重修太室书院后，赐额更名为嵩阳书院。宋代理学的“洛学”创始人程颢、程颐兄弟都曾在嵩阳书院讲学，成为宋理学的发源地之一。明末书院毁于兵燹，清代康熙时重建，鼎盛时期，学田1750多亩，生徒达数百人，藏书达2000多册。书院保持了清代建筑布局，南北长128米，东西宽78米，占地面积9984平方米，现存清代建筑25座。中轴建筑共分五进院落，由南向北依次为大门、先圣殿、讲堂、道统祠和藏书楼，中轴线两侧有配房和西院敬义斋等建筑。现保存有东魏以后石刻15品、古树14株等文物遗存。嵩阳书院格局紧凑，功能完善，作为中国最早的传播儒家理学学说、祭祀儒家圣贤和举行考试的书院，对儒学的发展起过重要的作用，对研究我国古代书院建筑、教育制度以及儒家文化具有不可替代的标本意义。

游玩时间：建议1-2小时

开放时间：7:30-17:30

门票价格：￥30?

3、少室山景区

游玩指南：少室山景区是嵩山的精华所在，少林寺、塔林、三皇寨等都在其中，整个景区玩下来，最少要一天。

游玩时间：建议1天

开放时间：8:00-17:00，具体开放时间详见景区现场公示。

4、少林寺

中国禅宗祖庭——嵩山·少林寺（Shaolin Monastery），位于河南省登封嵩山五乳峰下，是少林武术的发源地、中国汉传佛教禅

宗祖庭。由于其坐落嵩山的腹地少室山下的茂密丛林中，所以取名“少林寺”，有少林寺院、塔林、达摩洞、初祖庵等景点，更拥有传承千年的少林“禅、武、医”文化。少林寺因少林功夫而名扬天下，号称“天下第一名刹”。少林寺在唐朝时期就享有盛名，以禅宗和武术并称于世。民国时期被军阀石友三几乎焚毁殆尽，后重整重修。少林寺景区是国家旅游局首批5A旅游景区，并被联合国列入世界遗产名录。。

游玩时间：建议2-5小时

开放时间：8:00-18:00

门票价格：￥80

5、三皇寨

游玩指南：山势雄奇险峻，尤其是通往三皇寨的途中自然风光壮美绝伦！

游玩时间：建议3-4小时

开放时间：8:00-17:00

门票价格：￥30?

6、《禅宗少林·音乐大典》实景演出

《禅宗少林·音乐大典》是全球最大的山地实景演出，由郑州市天人文化旅游有限责任公司投资建设，项目总投资3.5亿元人民币，演出项目投资1.15亿元人民币。先后被评为“国家文化产业示范基地”、“中国创意城市-城市文化名片”、“2020中国创意产业先进单位”，并在全国“最美的五大实景演出”评选活动中，获得了网络投票第一名的成绩，成为中国实景演出的扛鼎之作和河南文化旅游“新名片”。

禅宗音乐大典距登封市西十公里的待仙沟，距少林寺七公里。主要表演舞台为一片峡谷，山呈竖状排列，近、中、远景层次分明，峡谷内有溪水、树林、石桥等，构成实景表演的要素。整个演区面积近三公里，演出最高点1400米，为全世界最大的实景舞台。观众席由曲折的木廊和庙宇形态的建筑构成，与自然景观和谐。观众席内放置蒲团。观众将坐在蒲团上观看演出，是剧场的一大特色。蒲团坐席设定二千七百个（分普通席与贵宾席）

开放时间：3月1日-12月2日 20:00-21:15；12月3日-次年2月29日 不开放；夏季延迟15分钟开始。

门票价格：￥199

7、中岳庙

中国道教着名宫观——登封嵩山中岳庙，位于河南嵩山南麓的太室山脚下，距河南省登封市城东4千米。它背倚黄盖峰，面对玉案山，西有望朝岭，东有牧子岗，群山环抱，布局谨严，规模宏伟，红墙黄瓦，金碧辉煌。总面积11万平方米，为中州祠宇之冠，也是五岳中现存规模最大、保存较完整的古建筑群，也是河南省规模最巨、最完整的古代建筑群。

游玩时间：建议1-2小时

开放时间：8:00-18:00

门票价格：￥30?

8、测星台

周公测景台和登封观星台是“天地之中”宇宙观形成的最直接、最具说服力的证据，其价值得到国内外专家一致高度认可。

观星台位于登封市区东南12公里的告成镇，东西宽37米，南北长150米，占地面积5550平方米，北依嵩山，南望箕山，处颍河之滨，同周公测景台、周公祠组成一座完整的院落。院内复制安装各种天文仪器十多种。观星台是我国现存唯一、保存完好的古天文台，世界上着名的天文建筑之一，1961年被国务院公布为全国第一批重点文物保护单位。观星台创建于元世祖至元13年至16年（公元1276-1279年），距今己有730多年的历史。郭守敬、王恂等经过多年的辛勤观测和推算，终于在至元十八年（公元l281年）编制出当时世界上最先进的历法——《授时历》。与当今世界上许多国家使用的阳历《格里高利历》的精确度相当，但《授时历》比《格里高利历》早三百年。观星台是一座高大的砖、石结构建筑，由台身和量天尺组成，台身形状是覆斗状，其作用是“昼参日影，夜观极星，以正朝夕”。观星台不仅保存了我国古代圭表测影的实物，也是自周公土圭测影以来测影技术发展的高峰，它反映了我国天文科学发展的卓越成就，对于研究我国天文史和建筑史都具有很高的价值。

观星台是中国现存最古老的天文台，也是世界上现存最早的观测天象建筑之一。