模型 | ''角含半角模型''引发的思考（终极版）

还记得不久前更新的《“一线三等角模型”引发的思考》一文吗，是否对基本图形还有拓展呢，请看下图：

经证明得：△DMN是等腰直角三角形，且∠DMN=90°，DM=MN，所以∠MDN=45°，其中：∠ADC=90°，像这样的我们称之为“角含半角模型”。角含半角模型出现，进行旋转是关键！其中，最常见的一种是90°角内含45°；

【原题再现】今天我就来说说90°角内含45°角这种情况，我以[2020年辽宁朝阳市中考数学第24题]为例。随小编一起观察已知条件背后隐藏的秘密。

如下图：这一例虽没有角含半角，但是观察题中图及作完辅助线的图，和今天研究的“角含半角模型”是不是有些类似。这题主要用到旋转，突破点在四边形内角和是360°，在这道题里对角互补，与邻补角建立联系。

对于（1）的解析如下:

对于（2）求正方形边长的解析：

对于（2）中MN的值的解析：

在探究发现的基础上，将等腰直角三角形问题转化为正方形问题。

【质疑】为什么“八字型”相似算出来的答案，和探究发现的结论算出来的结果不同？

对此你有什么看法？欢迎私信和小编共同交流。

同样的类型，在朝阳2020年中考试卷中仍有体现。通过前面的练习，我们开始解题：

看完这道题第一感觉就是：线多。所以在复杂的图形中提炼出简单的模型是关键，就是我们常说的“化繁为简-以简驭繁”

对于（1）（2）的解析如下:

（1）、去掉其他线留下与（1）有关线段，如图：

是我们常见的“角含半角模型”，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABN'，然后证明△AMN≌△AMN'即可；

（2）、∠FAE=∠MBE=45°，题中已知的对顶角相等，根据相似三角形的判定条件1可证：△AEF∽△BEM；

对于（3）的解析：

在（2）基础上，可得出两组对边分别成比例，再加上一对对顶角，证：△AEB与△FEM相似（如图2），由此得出∠FME=∠ABE=45°。已知∠FAM=45°，所以可得△AFM是等腰直角三角形。

对于（4）的解析：

在（3）的基础上可得AF=FM，根据SAS可以证△ABF≌△CBF，由全等三角形的性质可知：AF=FC，所以FM=FC，得出△FMC是等腰三角形。

“角含半角模型”的其他结论，小编在此延伸，总结如下:

这里BN与DM的乘积是定值。

文章来源：做中学学中做