连载 | 弧度制教学中相关问题（四）
7.三角函数引起的集合对应
文[1]说明弧度制的便利时,其中并没有列示:使用弧度制的必要性是“使三角函数成为实数集合到实数集合映射”,事实上使用弧度制并不由于“这个”必要性.为说明此,要了解三角函数引起了哪些集合上的对应.
三角函数究竟是哪个集合到实数集合的映射?
看下面的图示,大概就能说清了.
可以知道:角的集合、角度的集合、角度数的集合、弧度的集合、弧度数的集合、实数集合,这6个集合之间有一一对应.一般地,不需要严格区分三角函数是从上述五个集合中的哪一个出发到实数集
的映射,只强调对应的结果是一个实数. 1983年的《中学数学实验教材》称[22,P.22],“在任意大小的角、弧及数之间能建立的对应,可以使得我们认为三角函数是角的函数,或是弧的函数,或是数的函数,其中变数由我们处理,可以解释为角或解释为弧,或解释为数”.因此在实际运算与表达中,都把看成实数集合到实数集合的映射,即是实函数,并不因为是否引进弧度制而改变什么.因此2004年人教社《教师教学用书》说[16,P.8],“无论用角度制还是弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立一一对应关系”.在给定三角形
中,若对应的角度为,常有以下表达同时出现:,,,而不出现是因为弧度单位的省略.当考虑等式时,用的是与所对的角相同,同角余弦值相等,而不是进行或的计算.事实上,.因而即使看不出用什么度量,对的含义也是心知肚明的.弧度制使得三角函数图像中的横轴、纵轴上数值都是十进制,长度单位一致,因此从函数图像上容易理解函数的单调性、凸凹性、对称性等?
这是不对的.
首先,绘制函数图像,有时为了看清较远的位置,故意将两个坐标轴的单位长作不同比例压缩.其次,同一个数的不同进制表示,并不会改变数在坐标轴上对应点的位置.把一个数写成十进制还是六十进制,它在数轴上对应的点相对于1的位置是不变的,不可能引起长度单位的变化.最后,变量采用弧度制数值还是角度制数值画图,事实上是画两个不同图象
与.通过图象研究函数性质时,看喜欢或者习惯哪个.当在区间上画,在区间上画,并对横轴作压缩时,图像是一样的(前面两个图像).当把两个图像画在一个坐标系中时,才出现图像对比解读的不同(第三个图像,坐标轴压缩由Mathmatica自动完成),例如,看不出真实的数据大小,看不出.8.“课标”案例中的误解
基于以上讨论,弧度制与角度制是两个地位相同的角的度量方法,具有的度量性质也都一样,只是具体的度量数值不一样,因此“课标”案例中的说法存在误解.进一步说明之前,先回顾弧度制使用的好处, ,参见文[1].
弧度制带来哪些好处?
弧度制最突出的好处是极限
的简单表达(在角度制下
[1,P.3]),进而有函数导数.事实上可以在角度制下对比讨论这个导数
.设一个角在弧度制和角度之下的度量分别是和,即和对应于同一个角,对应的三角函数值是一样的,因此.根据换算关系,数值,之间有关系.此时有[1,P.2,(4)]. 其中的上标
和,在导数的定义中是没有的,故意写进去以示区分对不同的变量求导.作为对上面推导的理解程度的检测,读者可以试试解释下面等式是否正确以及其中符号的意义:
弧度制下
的简单性,在级数展开和微积分计算中体现更多的优越性,也被用于三角函数值的计算,[1,P.3,(9),(10)].
弧度制还可以使得许多表达式简单,例如,弧长,扇形面积,向心加速度,渐开线,心形线,等等.然而它最重要的好处是使得
成立,即使这是唯一的好处也足以使人欣慰,而不必再找其它好处,尤其不必找一些不恰当的“好处”.柯朗这样说道[5,P.285],“在解析运算中,弧度制是很方便的,这一点以后会变得很清楚.但是,在实用中,弧度制又颇为不便,因为为无理数.所以如果我们在圆周上把单位角,即1弧度的角,一次一次地标出来它决不会回到圆上原来的点.而在建立普通的角度制时就是让它在1度继续标出次后或继续标出四次后,能回到原来的位置.”“课标”案例中对弧度制相关问题的描述有哪些误解?
讨论至此,可以看到“课标”案例3中对于引进弧度制必要性的陈述多有误解和前后不一致之处,主要有:把自变量和函数值看成是有“单位”的量,提出了函数运算可能“不能进行”的说法,混淆了数学运算与运算结果的物理意义之间的区别,混淆了数与量的不同;把实数混同于实数表示的量,称“长度单位与实数单位一致,这就使得三角函数的自变量与函数值的取值都是实数”,引导理解实数就是长度;误解了角度制与弧度制的共性,忽视了弧度制中弧度单位的省略;称 60 进制的角度、不是 10 进制的实数”,把角度数引导理解为非实数,把六十进制数引导理解为不是实数;存在前后不一致的表述,一方面称不同“单位”的量“不能进行加、减等运算”,另一方面称舍去具体背景就“可以进行运算”;一方面说三角函数自变量的“单位”要取“长度”,另一方面称可以是“时间或其它量”.
关于“只有弧度制才能使得三角函数成为实数到实数的映射”的误解,从几本教材对弧度制及三角函数定义域的表述来看,似有其演变发展痕迹.
人教社1993年10月版高级中学试验课本《数学II》称[19,P.50],“当分别用‘弧度’为单位和用‘度’为单位来度量同一个角时,所得到的量数是不同的.”又称[19,P.73],“根据六种三角函数的定义,当角
是用弧度制来度量时,这些三角函数的定义域如下表所示(引注,表中列示或扣除间断点等,此处不列具)”.这些表述,把角度制与弧度制看成仅是单位不同的两种平等的度量;指明了用弧度制表示定义域时,三角函数定义域的实数表达方式,没有引导理解角度制下定义域不是实数.人教社1995年10月版高级中学课本《代数上册(必修)》称[20,P.126],“用弧度制来度量角,实际上是在角的集合与实数集
之间建立了这样的一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(角的弧度数等于这个实数)与它对应”.在第二章“小结”[20,P.195]时又对此作了重复强调.对于定义域称[20,P.134],“当自变量是用弧度制来度量角所得到的实数时,这些三角函数的定义域如下表所示(引注,表中列示或扣除间断点等,此处不列具)”,在第二章“小结”时又对此作了重复强调[20,P.197].这些表述,突出了在弧度制下,一个角对应一个实数,引导理解在角度制下做不到一个角对应一个实数;指明了用弧度制度量角得到三角函数定义域是实数,可能引导理解用角度制度量角得不到实数.人教社2004年5月版普通高中课程标准实验教科书《数学4(必修)》称[23,P.7],欧拉在“《无穷小分析概论》中,提出把圆的半径作为弧长的度量单位,使得一个圆周角等于
弧度,1弧度等于周角的.这一思想将线段与弧的度量统一起来,大大简化了三角公式及计算.”又称[23,P.9],“在弧度制下角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(角的弧度数等于这个实数的角)与它对应”.对于三角函数的定义域称[23,P.12],“我们已经学过锐角三角函数,知道它么都是以锐角为自变量”,接着称[23,P.14],“正弦、余弦、正切都是以角为自变量,……由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数”.后文没有给出定义域具体表述,而是要求学生列出定义域[23,P.15],“请根据上述任意角的三角函数定义,先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表1.2-1”.这些表述混淆了角的弧度制度量与弧的度量,没有严格区分三角函数的变量是角还是数.书中对三角函数与三角函数值也不区分[23,P.33] “1.将下列三角函数转化为锐角三角函数”,“3.用诱导公式求下列三角函数值”(引注,都是计算题,此处不列具).以上教材中,三角函数后面例题的编排中既有角度又有弧度,即对于三角函数的定义域或者变量的取值,都没有特别限定是角度还是弧度.这与通常应用是一致的,也说明了没有必要区分三角函数的变量是角度数还是弧度数,总之都是实数.
上述讨论结果是否是学术观点不同造成的?
只要认真思考,数学结论可以在相同的逻辑基础上说清楚,不存在由于概念理解模糊而造成的“商榷”.相信认真阅读上面讨论的人,可以减少对于“角度制不能使得三角函数变为实数到实数的映射”的坚持.弧度制能做到的事,角度制同样能做到,至于是否习惯或者方便,是另一个问题.
教学中如何对待科学性和严格性?
上述讨论的结论,在学生学习和教师教学具体执行中,可能带来困难,因为不可能完全如公理般严格地演绎数学概念.但不严格不等于可以作错误解释,因此教师要对这些问题认真理解,而学生要做到了解.张广祥说[4,P.28],“数系教学中,不可避免地会出现‘不严格’的现象.我们只能模糊处理,‘混而不错’就是了”.这样的“模糊正确”性原则,可能在数学的许多教学上都可以采用.
(全文完)