连载 | 弧度制教学中相关问题（三）
5.角的大小与度量
由于习惯和逻辑起点的原因,使中学数学将角的大小与角的度量混同在一起,需要细致讨论两者的不同.
角的大小就是角的度量吗?
角的大小与角的度量(或者叫角的大小的度量)是不同的概念.角的大小是一个几何客观,角的度量是角的一个度量化.角的大小是角的集合上的一个序(任意两个角之间的次序,一个包含另一个的比较关系),这个序的公理化定义,是通过直线上点的序公理造成的线段的序来描述的.梁绍鸿《初等数学复习及研究(平面几何)》[10,P.12]先描述了角的相等关系,然后指出可以进一步通过公理建立角的“大于”,“小于”次序(即角的大小比较).
角的度量是由角的集合上的一个非负单调广义函数产生的,函数的递增性与角的大小次序一致,因此也可以说是角的大小的量化.进一步讲,角的度量是角的集合上的一个测度,给每个角规定一个对应数值,这个数值是非负单调的.这一点在中学数学是不容易、因而也不必严格讲清楚的,更不需要按照公理来讲.
人民教育出版社(下称,人教社)1963年版《初级中学课本平面几何第一册》,分别给出角的大小比较和角的度量,抄录如下:
“1.12角的比较[11,P.23,1.12]:要比较角
和的大小,可以把放到上,使顶点和重合,边和重合,并且使边和在的同旁,如果边和也重合(图1.39),那么;如果落在的里面(图1.40),那么;如果落在的外面(图1.41),那么.”(引注,因所述图示简单,不另画图)“1.14角的度量[11,P.26,1.14]:量角的大小,用‘度’作度量单位.把一个周角分成360等分,每一份叫作一度的角.……”
可以看到,1963年教材把角的大小(比较)与角的度量当成两个独立的概念分开讲.现行教材说“要准确测量一个角的大小,应该用一个合适的角作单位来量”[12,P.40],“我们常用量角器量角”[13,P.130].就是将角的大小次序直接用角的大小的度量值来替代,这是一个简约化的处理,中学数学中这么做并无绕不开的缺陷.
什么是角的角度制度量?
常见的角的度量方法有弧度制和角度制两种,都是在角的集合上建立一个映射,将一个角对应到一个实数,这个数加上度量单位,就得到一个关于角的度量.度量的数值与度量的关系,就是数与量的关系.
角度制与弧度制的具体表述,不同的教材中不完全一样,本质恰一致.例如,小平邦彦称[14,P.207],“表示角的大小(引注,即角的大小的度量),有以直角的
为( 1 度),的为(1 分),的为(1 秒)的六十分法.另外还有一种方法,就是在一个圆中,取半径等长的弧所对的圆心角,用它为单位来表示角的大小.……这个角的大小叫做弧度.”可见,两种度量都是通过选取某个特定角作度量单位来实现. Kiselev[9,§18]明确将角定义为圆周的对应的圆心角,““Imagine that a circle is divided into 360 congruent parts and allthe division points are connected with the center by radii.……, and each ofthose central angles is called an angular degree. Thus one can say that acircular degree is 1/360th part of the circle, and the angular degree is thecentral angle corresponding to it”.
”文[1]指出“显然,上述两种办法在本质上没有差别,只不过是角度单位作了一次更换而己”(从测度论角度看,是两个等价测度).《三角学讲义》称[15,P.3],“度量角用的角度制和弧度制,在原理上并无差别,仅是采用不同的度量单位”.《教师教学用书》称[16,P.8],“无论用角度制还是弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立一一对应关系”.
由于历史的习惯省略了弧度的单位“radian”(也叫“胫”,现在多不用此词,简记为rad,或
),但保留了角度制的单位“度”或,例如文[1]称“在现代的数学书籍与文献中,角一律用弧度为单位,无须用符号加以特别标注”,“如不特别说明,有关三角函数的自变量一律认为以弧度为其单位”.柯朗明确说[5,P.285],“为避免混淆,今后角就是指角的弧度是,而一个度数是的角将写为”.因此,人们错以为“弧度制下角对应一个数而角度制下角对应角度”的原因,是弧度制省略了单位“rad”而角度制没有它省略单位“”.一周角
为是英国的角度制,法国的角度制曾将圆周分成,即百分制[15,P.4];除此之外还有将圆周分成6000份的密位制[15,P.5].也用较粗糙的方法来度量角,例如,“周、圈、转”等,这些“角的度量”在实际应用时仍不可避免.怎样理解“平角”?
当写“平角
”时,显然是“平角在弧度制下的度量弧度”或者“平角的弧度数”的省略表达.其实质为“平角对应于实数”,这与平角对应于,没有本质差别.小平邦彦称[14,P.208],“如果在六十分法中的角等于弧度,则,”,即“的角的角”当且仅当“”.对比于“1米=100厘米”,没有人会理解为“
”或者“厘米”严格讲等式“”没有意义,只能有“的角的角”,简称“”.平时说“一个角的大小是”是指“一个角的大小的弧度制度量为”,若要说“的角”,就得说“度的角”.显然有“和的角”,也有“和的角”.怎样理解“弧度值是弧长与半径的比值”?
弧度制下,角的度量值是对应的弧长与半径的比值,所以没有单位,或者无量纲,是一个实数. 这些理解可以照样搬到角度制的上,Kiselev[9,§18]就是这样做的.因此角度的数值与弧度的数值一样,也是实数.单位rad或者
,是为了说明这个数值是角的一个度量而加上的,用于区别数与量.怎样理解“角度值是角与圆周角的比值”?
按照角度制定义,将一个圆周角平均分成
份,其中1份对应的角为的角,一个角占有几份就是几度,因此角度的数值是“角与圆周角的三百六十分之一的比”. “角与圆心角的比”的含义是将角看成是圆心角,根据圆心角与圆弧的一一对应,由对应的圆弧之比得到两个角的比.值得注意的是,弧度制度量角和角度制度量角,都需要在圆弧长的求法,即弧长积分.这表明,角的度量不是独立于长度与面积的度量.
怎样理解“单位圆中角的度量是弧长”?
把角的度量看成弧长,显然是混同了度量的数值与度量.在单位圆中,的确可以得到角的弧度数对应到相应的弧长.这种对应,不仅在单位圆中,在半径为2的圆中,也作类似处理,使得每一个角对应于一个弧长,只是这个新的对应是习惯的那种的2倍而已,这样做并不改变弧度制的任何本质.
角度制中角度数是六十进制表示的吗?
结合关于十进制与六十进制的讨论,看下面角度制表示的角:
,,. 可见,常见的角度制表示角的数值中,有很多是以十进制为基础的六十进制混合表示法,并不是纯粹的六十进制,所以小平邦彦称“六十分法”[14,P.207].在具体教学中,如何处理弧度单位的省略问题?
一开始学习弧度制时,教师通常可以先要求将弧度单位写上,以后熟悉了再省略.例如,开始时写全单位,
,[17,P.416,Example 1.a. 和Example 2.11.],最后做一个约定“Asyou have seen, an angle measurecan beexpressed in degrees or in radians. In this book, when no unit is mentioned youshould use radians.”[17,P.422](引注,Advanced Algebra是美国中学生用的高级课程教材,其中恰有关于弧度制的教学处理.)6.单位圆上的三角函数
怎样理解“直角三角形的三角比与单位圆中三角函数线的一致性”?
对于锐角三角函数,可以通过直角三角形对应边的比值来定义,也可以通过单位圆中三角函数线来定义,有教师认为这是两种不同的定义方法.这个理解是不错的,因为一个是静态的比值,一个是动态的对应,然而它们的区别并不那么大.
直角三角形中,给定一个角就得到一个确定的三角比(边的比).在单位圆中,角对应的直角三角形斜边长是1,三角比从数值上看有明显的几何意义(数值而已,例如,正弦函数值等于正弦线段的长度值).三角函数定义的仍然是边的比值,与通过直角三角形的定义一样,仅仅是在两个相似的直角三角形中定义而已.
在直角三角形中,从三角比过渡到三角函数,并不是简单的.例如,对于角的取值,并不能如期待的那样,在
上任意连续变化取值;角连续变化取值时,如何判断对应的三角比值连续变化呢.若在单位圆上将角的变量等同于对应的弧长,似乎连续变化就解决了;然而要说明一个实数等同于一段弧长,需要弧长积分的概念与技术,需要弧长对于角的决定,再由角决定正弦线,从而得到函数.那么,又如何说明弧长连续变化使得正弦线长连续变化呢?以至于一本教师教学用书不得不困难而牵强地解释[16,第一章总体说明,P.3],“把实数轴想象为一条柔软的细线,原点固定在单位点,数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上,负半轴顺时针缠绕在单位圆上,那么数轴上的任意一个实数(点)被缠绕到单位圆上的点.”这些问题与三角函数的连续性究竟如何定义有关.Cauchy证明了以下结论[9,命题57,P.242]:“若
是在上的连续函数,满足任给都有, 则或”.对于三角函数的多种定义,需要讨论它们的一致性,例如,高夯[18,P.169]列举了利用函数方程的公理化定义(引注,高夯列举的是将正弦与余弦作为一对函数一起定义,还有一种是先用函数方程公理化定义余弦函数)、幂级数定义、利用积分定义. 在中学数学中,通过直角三角形和通过单位圆两种定义,都不可能严格讲清楚所定义的三角函数具有连续性,在一般大学教材中也没有讲清楚,甚至就没有试图讲清楚.通过单位圆来定义三角函数的好处是,可以推广到任意角,容易过渡到在直角坐标系中用坐标定义任意角三角函数,容易表示三角函数周期性的物理意义.
（未完待续）