[乌鲁木齐地区2015年]乌鲁木齐地区2015高三年级第一次诊断性测验数学

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乌鲁木齐地区2015高三年级第一次诊断性测验数学(一)

1.已知集合M = { x |0 < x < 2 }, N = { x | x > 1 }，则M∩N =

A. [ 1, 2) B. ( 1, 2 ) C. [ 0, 1 ) D. ( 0, 1]

2.复数 A. 1 + i B. – 1 + i C. – 1 – i D. 1 – i

3.设α，β，γ为平面，m, n为直线，则m⊥β的一个充分条件是

A. α⊥β, α∩β = n, m⊥n B. α∩γ = m, α⊥γ, β⊥γ

C. α⊥γ , β⊥γ, m⊥α D. n⊥α, n⊥β, m⊥α

4.等差数列{an}中，a3 = 5, S6 = 36，则S9 =

A. 17 B. 19 C. 81 D. 100

5.若函数f (x) = cos2x + a sinx在区间( , )上是减函数，则a的取值范围是

A. ( 2, 4 ) B. ( – ∞, 2 ] C. ( – ∞, 4] D. [ 4, + ∞ )

D.

A

6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O – xyz中的坐标分别是( 1, 0, ), ( 1, 1, 0 ), ( 0, , 1 ), ( 1, 0, 1 )，画该四面体三视图中的正视图时，以yOz平面为投影面，则得到的正视图可以为

开始

输入a, q, n

i = 0

S = 0

i ≤ n ?

输出S

i = i + 1

a = aq

S = S + a

结束

是

否

C

B

7.执行如图的程序框图( n∈N* )，则输出的S =

A. a + aq + aq2 + …… + aqn – 1 B. C. a + aq + aq2 + …… + aqn – 1 + aqn D.

8.凸四边形OABC中， ，则该四边形的面积为

A. B. 2 C. 5 D. 10

9.过抛物线焦点F的直线，交抛物线于AB两点，交准线于C点，若 ，则λ =

A. – 4 B. – 3 C. – 2 D. – 1

10.设f (x) = |ln( x + 1 )|，已知f (a) = f (b) ( a < b )，则

A. a + b > 0 B. a + b > 1 C. 2a + b > 0 D. 2a + b > 1

11.P是双曲线 上的一点，F1，F2是焦点，PF1与渐近线平行，∠F1PF2 = 90°，则双曲线的离心率为

A. B. C. 2 D.

12.设函数f (x) 在R上存在导函数f ′(x)，对任意x∈R , 都有f (x) + f ( – x ) = x2，且x∈( 0, + ∞)时，f ′(x) > x，若f ( 2 – a ) – f ( a ) ≥ 2 – 2a，则实数a的取值范围是

A.[ 1, + ∞ ) B. ( – ∞, 1 ] C. ( – ∞, 2] D. [ 2, + ∞ )

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13.若 的二项展开式中的常数项是84, 则实数a = × ;

14.已知实数x , y 满足约束条件，则z = 2x + y 的最小值为 × ;

15.掷两枚骰子，则向上的点数之和小于6的概率为 × ;

16.设数列{ an }的各项均为正数，其前n项和Sn满足Sn = ，则an = × .

乌鲁木齐地区2015高三年级第一次诊断性测验数学(二)

已知函数f (x) = sin( 2x + ) – cos( 2x + ) – cos2x ( x∈R ).

(Ⅰ)求f (x)的单调递增区间;

(Ⅱ)在△ABC中，B为锐角，且f (B) = ，AC = ，求△ABC周长的最大值.

.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，E，F分别是BB1，A1C1的中点.

A

B

C

E

F

A1

B1

C1

(Ⅰ)求证EF∥平面A1BC;

(Ⅱ)若AB = AC = AA1= 1，求二面角A1 – BC – F的平面角的余弦值.

某城市居民生活用水收费标准为W(t) = ( t为用水量，单位：吨;

W为水费，单位：元 )，从该市抽取的100户居民的月用水量的频率分布直方图如图所示.

O

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

月均用水量/t

频率/组距

0.04

0.08

08

0.12

0.16

0.28

0.30

0.44

0.50

(Ⅰ)求这100户居民的月均用水量的中位数及平均水费;

(Ⅱ)连续10个月，每月从这100户中随机抽取一户，若抽到的用户当月所交水费少于9.45元，则对其予以奖励.设X为获奖户数，求X的数学期望.

.已知椭圆 的离心率为，过焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为M ( – , ) .

(Ⅰ)求椭圆方程;

(Ⅱ)过点A与椭圆只有一个公共点的直线为l1，过点F与AF垂直的直线为l2，求证l1与l2的交点在定直线上.

.已知函数f (x) = ex + ln( x + 1 ).

(Ⅰ)求曲线y = f (x) 在点 ( 0, f (0) ) 处的切线方程;

(Ⅱ)若x ≥0时，f (x) ≥ ax + 1成立，求实数a的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑

.(本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，PA是圆的切线，A是切点，M是PA的中点，过点M作圆的割线交圆于点C，B，连接PB，PC，分别交圆于点E、F, EF与BC的交点为N.

求证：(Ⅰ)EF∥PA;

(Ⅱ)MA·NE = MC·NB .

(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

点P是曲线 ρ = 2 ( 0 ≤ θ ≤π )上的动点，A( 2, 0 ), AP的中点为Q .

(Ⅰ)求点Q的轨迹C的直角坐标方程;

(Ⅱ)若C上点M处的切线斜率的取值范围是 [ – , – ]，求点M横坐标的取值范围.

.(本题满分10分) 选修4 – 5：不等式选讲

已知函数f (x) = | x – a | + 2| x + b | ( a > 0, b > 0 )的最小值为1.

(Ⅰ)求 a + b 的值;

(Ⅱ)求 的最小值

乌鲁木齐地区2015高三年级第一次诊断性测验数学(三)

1~5 ADDCB 6~10 ACCAA 11~12 DB

1.选 .【解析】∵ ，∴ ，故选 .

2.选D.【解析】∵ ，∴ ，故选D.

3.选D.【解析】∵ ,∴ ∥ ,又 ,∴ ，故选D.

4.选 .【解析】 ，得 ，∴ ，故选 .

5.选 .【解析】∵ ，令 ，

由 得 ，依题意有 在 是减函数，

∴ ，即 ，故选 .

6.选A.【解析】由图可得，故选A.

7.选 .【解析】执行第一次循环体运算，得 ;

执行第二次， ;

执行第 次， ，故选 .

8.选 .【解析】∵ ，∴ ，∴ ，故选 .

9.选 .【解析】如图， ,∴ ，

∴ 是 的中位线，∴ , ,

∴ ,故选 .

10.选 .【解析】依题意 的图像如图所示，

由 ，得 ，即 .

而 0 < a + 1 < 1, b > 1

∴ ， ，∴ ab < 0，∴ ，故选 .

11.选 .【解析】 ，∴ ， ，

∴ ， ,

∴ ，∴ ，∴ ，故选 .

12.选 .【解析】令 ，则 ，

则 ，得 为 上的奇函数，

∵ 时， ，故 在 单调递增，

再结合 及 为奇函数，知 在 为增函数，

又 则 ，即 .故选 .

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.填 .【解析】∵ 的二项式展开式的通项为 ，

令 ，即 ，常数项为 ，

依题意，有 ，∴ .

14.填 .【解析】由约束条件确定的可行域如图所示，∴ 的最小值为 .

15.填 .【解析】由题意知，所有基本事件有 ，共 个，其中满足点数之和小于 的基本事件有 ，共10个，所以所求概率为 .

16.填 .【解析】当 时， ，

即 ，得 或 (舍).

由题意得： …① …②

①-②得： ，即 ，

∵ ，∴ ，∴ 是以 为首项， 为公差的等差数列，

∴ .

三、解答题：第17~21题，每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤.

17.(12分).

易知 …2分

(Ⅰ)由 ，解得， ，其中 ∴ 的单调递增区间为 ; …6分

(Ⅱ)∵ ,又 ，∴ ∵ ，∴ ，故， ，∴ 在 中， ，且 ， ∴ ，

的周长 ∵ ，∴ ，

故当 ，即 时， 的周长最大，最大值为 . …12分

18.(12分)

(Ⅰ)如图，取 中点 ，连结 ,

∵ 分别是 的中点,∴ ,

∴平面 //平面 ，∴ 平面 ; …6分

(Ⅱ)根据题意，建立如图空间直角坐标系 ：

则 设平面 的法向量 ，

∵ 由 ，得 ，令 ，得 ，∴ 同理可得平面 的一个法向量 ，∴ 所以二面角 的余弦值为 . …12分

19.(12分)

(Ⅰ)由频率分布直方图可知，月平均用水量的中位数为 ;根据物价部门对城市居民月平均用水的定价为 ，其中 单位是元， 单位为吨.知平均水价为：

(元) …6分

(Ⅱ)依题意知这 户中所交水费价格少于9.45元，即每月用水量少于 吨.这样的用户占 ，则每月从这 户中随机抽取 户居民获奖的概率为 ，则连续10个月抽取的获奖户数 服从二项分布 ,

所以 . …12分

20.(12分)

(Ⅰ)由题意得，焦点为椭圆的左焦点，即 设弦与椭圆的交点为 ，

代入椭圆方程得 …① …②

①式 ②式，得 …③

∵点 平分弦 ，弦经过焦点，

∴ ， ， ，

代入③式得， ，即 ，

又∵ ， ，∴ ，∴ ，

即 ， ， ∴椭圆方程为 …5分

(Ⅱ)设点 坐标为 ，由对称性，不妨设 ，由 得椭圆上半部分的方程为 ， ，

∴ ，

∴ 点处的切线方程为 …①

过 且垂直于 的直线方程为 …②

由①②两式，消去 得 …③

其中 ，代入③式，可得

∴点 在定直线 上. …12分

21.(12分)

(Ⅰ) ， ， ∴ 在点 处的切线方程为： ，即 .

…5分

(Ⅱ)令 ，则 令 ，则 ，

当 时， ， ，∴ ，

∴函数 为增函数，∴ ，∴ ī)当 时， ，∴当 时， ∴函数 为增函数，∴ 故对 ， 成立.

īī)当 时， ，由 时 ，

当 知 ，即 ，

∴函数 ， 为减函数，

∴当 时， 从而 这与题意不符，

综上，对 ， 成立时，实数 的取值范围为 . …12分

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，并将所选的题号下的“○”涂黑.如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分.

22.(10分)

(Ⅰ)由切割线定理，得 ，

而 ，∴ ∴ ， ，∴ ∽ ，∴ 又 ，∴ ，∴ ∥ …5分

(Ⅱ)∵ ∥ ，∴ ，又∵ ∴ ∽ ，∴ ，而 ，∴ ，

即 …10分

23.(10分)

(Ⅰ)由 ，得 设 ， ，

则 ，即 ，代入 ，

得 ，∴ ; …5分

(Ⅱ)轨迹 是一个以 为圆心， 半径的半圆，如图所示，

设 ，设点 处切线 的倾斜角为 由 斜率范围 ，可得 ，

而 ，∴ ，∴ ，

所以，点 横坐标的取值范围是 . …10分

24.(12分)

(Ⅰ) ，其图形如图所示

因此， 的最小值是 ，依题意，有 ; …5分

(Ⅱ) ，且 ，

当且仅当 时，上式取等号，又 ，

故，当且仅当 时， 有最小值 . …10分

以上各题的其他解法，限于篇幅，从略，请酌情给分.