八年级上册数学第十四章勾股定理总结归纳

篇一:《初二上数学第一章勾股定理总结》

勾股定理知识总结

制作人 周宇峰 一：勾股定理

222 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a+b＝c）

要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

二：勾股定理的逆定理

222如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a+b＝c，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：

用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

222222（2）验证c与a+b是否具有相等关系，若c＝a+b，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

222222（若c>a+b，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c<a+b，则△ABC为锐角三角形）。

三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 四：互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导

1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错 误。

2224. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a+b＝c，•那么这个

三角形是直 角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．

5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加 深对“数形结合”的理解．

篇二:《八年级上数学第十四章勾股定理》

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第十四章勾股定理练习

一、填空题

1、一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长为 ．

2、直角三角形一直角边长为6cm，斜边长为10cm，则这个直角三角形的面积为 斜边上的高为 ，斜边上的中线是 。

3、 下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少？(注：下列各图中的三角形均 为直角三角形)答：A=________，y=________，B=________。

45•A和B是这。 10、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm． 二、解答题

A B

3cm

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1、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9。 (1)求DC的长。

C

(2)求AB的长。

2

8km的C处行驶.40km/h，则我边

A

D

B

3、已知：如图，△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，若将△ABC折叠，使C点与A点重合，求折痕EF的长。（提示：设FC=x）

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4、如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…。（1）记正方形ABCD的边长a11，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长ana3，a4，…，an，求出a2，a3，a4的值。的表达式。

答案 一、

1、5或7

225；4、14或4； 5、25dm ；6，3664

n2； 二、

1、DC=12 、AB=25 2、50km/h 3、2•5 4、a2

2，a32，a48

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篇三:《人教新版八年级数学上册经典勾股定理的应用总结(含答案)》

应用1：勾股定理的直接用法 //在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.

思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，

c=25，b=15,a=

应用2：勾股定理的构造应用 例、如图，已知：在

中，

，

，

. 求：BC的长.

解析：作 ∴

于D，则因

（

，

的两个锐角互余）

，

∴（在

中，如果一个锐角等于 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在

根据勾股定理，在

中，

.

中，

.

∴ .

例、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

解析：延长AD、BC交于E。

∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE=AE-AB=8-4=48，BE= ∵DE= CE-CD=4-2=12，∴DE=

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=

2

2

2

2

2

2{八年级上册数学第十四章勾股定理总结归纳}.

2

2

2

2

==

。 。

1

AB·BE-CD·DE=

应用3：勾股定理的实际应用

例、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。 解析：（1）过B点作BE//AD ∴∠DAB=∠ABE=60° ∵30°+∠CBA+∠ABE=180° ∴∠CBA=90° 即△ABC为直角三角形 由已知可得：BC=500m，AB=由勾股定理可得： 所以

（2）在Rt△ABC中， ∵BC=500m，AC=1000m ∴∠CAB=30° ∵∠DAB=60° ∴∠DAC=30°

即点C在点A的北偏东30°的方向 应用4：用勾股定理求最短问题

例、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程． 解：

如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm， 根据勾股定理得 （提问：勾股定理） ∴ AC＝

＝

＝

≈１０．７７（cm）（勾股定理）．

到达B点，然后再沿

答：最短路程约为１０．７７cm． 应用5：利用勾股定理作长为 例、在数轴上作出

2

的线段

的点。

作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。。

应用6：勾股定理与方程

如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。 因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°， 在Rt△ABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm， 所以 设

，则

，即

即EF的长为5cm。

。

，解得

。

。 所以

。

在Rt△ECF中，

3

篇四:《2013–2014学期八年级数学第十四章《勾股定理》电子版教案》

第十四章 勾股定理

14.1.1 直角三角形三边的关系（1）

教学目标：

1.探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2.会应用勾股定理解决实际问题。

3.培养学生合作、探索的意识，体会数形结合的思想以及识图的能力。

教学重点：

探索勾股定理的证明过程

教学难点：

运用勾股定理解决实际问题

教学过程：

一.探索勾股定理

试一试

由图14.1.1得出等腰直角三角形的三边关系

图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，

很显然，两个小正方形P、 Q的面积之和等于大正方形R的面积．即

AC2＋ＢＣ2＝ＡＢ2，

图14.1.1

这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那

么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?

试一试

观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P

的面积＝ 平方厘米；

正方形Q的面积＝ 平方厘米；

（每一小方格表示1平方厘米）

图14.1.2

正方形R的面积＝ 平方厘米．

我们发现，正方形P、 Q、 R的面积之间的关系

是 ．

由此，我们得出直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关

系 ．

由图14.1.2得出一般直角三角形的三边关系.若∠C=90°,则a2b2c2

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

△ABC中，∠C=90°, 则a2b2c2(a、b 表示两直角边，c表示斜边)

变式：a2c2b2,b2c2a2

2．介绍勾股定理的历史背景。

二．例题分析：

例1.Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,∠B=90°

（1） 已知a=8,b=10,求c. (c=6)

（2） 已知a=5,c=12,求b (b=13)

注意：“∠B为直角”这个条件。

三、能力提高：{八年级上册数学第十四章勾股定理总结归纳}.

例2如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙

ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距

离ＡＢ．（精确到0.01米） 上，

解 如图14.1.4，在Rt△ＡＢＣ中，

ＢＣ＝２.１６米， ＡＣ＝５.４１米， 根据勾股定理可得ＡＢ＝AC2 －ＢＣ2 2＝

2４１. －２１６. 2≈４.９６（米）． 答： 梯子上端A到墙的底边的垂直距离 ＡＢ 约为4.96米

四．巩固练习： 1．书本P111.1.2

五．课时小结：

1.勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方

2.已知直角三角形两边的长或知道两边关系和第三边的长，可以利用勾股定理求出三角形未知边长，并可运用面积关系式求斜边上的高。

六．课后反思：

14.1.1 直角三角形三边的关系（2）

教学目标：

1.用拼图的方法说明勾股定理的结论正确。

2．会应用勾股定理解决实际问题。