湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）
姓名： 班级 ： 分数 ：
一、填空题（本题满分70分，每小题7分）
1．方程
的实数解为 ．
2．函数
R
的单调减区间是 .
3．在△
中，已知
，
，则
＝ .
4．函数
在区间
上的最大值是 ，最小值是 ．
5．在直角坐标系
中，已知圆心在原点
、半径为
的圆与△
的边有公共点，
其中
、
、
，则
的取值范围为 ．
6．设函数
的定义域为R，若
与
都是关于
的奇函数，则函数
在区间
上至少有 个零点.
7．从正方体的
条棱和
条面对角线中选出
条，使得其中任意
两条线段所在的直线都是异面直线，则
的最大值为 ．
8．圆环形手镯上等距地镶嵌着
颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀
金
银的概率是 ．
9．在三棱锥
中，已知
，
，且
．已知棱
的长为
，则此棱锥的体积为 ．
10．设复数列
满足
，
，且
．若对任意
N* 都有
，
则
的值是 ．
二、解答题（本题满分80分，每小题20分）
11．直角坐标系
中，设
、
、
是椭圆
上的三点．若
，证明：线段
的中点在椭圆
上．
12．已知整数列
满足
，
，前
项依次成等差数列，从第
项起依次
成等比数列．
(1) 求数列
的通项公式；
(2) 求出所有的正整数
，使得
．
13．如图，圆内接五边形
中，
是外接圆的直径，
，垂足
.
过点
作平行于
的直线，与直线
、
分别交于点
、
．
证明： (1) 点
、
、
、
共圆；
(2) 四边形
是矩形．
14．求所有正整数
，
，使得
与
都是完全平方数．
高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）详细解答
一、填空题（本题满分70分，每小题7分）
1．方程
的实数解为 ．
提示与答案：x＜0无解; 当
时，原方程变形为32x+3x－6=0，解得3x=2，x=log32．
2．函数
R
的单调减区间是 .
提示与答案：与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同，
Z．
3．在△
中，已知
，
，则
＝ .
提示与答案：
，得
．
4．函数
在区间
上的最大值是 ，最小值是 ．
提示与答案：极小值－4，端点函数值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0．
5．在直角坐标系
中，已知圆心在原点
、半径为
的圆与△
的边有公共点，
其中
、
、
，则
的取值范围为 ．
提示与答案：画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B．[，10]．
6．设函数
的定义域为R，若
与
都是关于
的奇函数，则函数
在区间
上至少有 个零点.
提示与答案：f(2k-1)=0，k∈Z. 又可作一个函数
满足问题中的条件，且
的
一个零点恰为
，k∈Z. 所以至少有50个零点.
7．从正方体的
条棱和
条面对角线中选出
条，使得其中任意
两条线段所在的直线都是异面直线，则
的最大值为 ．
提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．
8．圆环形手镯上等距地镶嵌着
颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中
镀
金
银的概率是 ．
提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 ．
9．在三棱锥
中，已知
，
，且
．已知棱
的长为
，则此棱锥的体积为 ．
提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ．
10．设复数列
满足
，
，且
．若对任意
N* 都有
，
则
的值是 ．
提示与答案：由
，
恒成立，即
. 因为
或
，故
，所以
．
二、解答题（本题满分80分，每小题20分）
11．直角坐标系
中，设
、
、
是椭圆
上的三点．若
，证明：线段
的中点在椭圆
上．
解：设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则 ＋y12＝1，＋y22＝1．
由
，得 M(x1＋x2，y1＋y2)．
因为M是椭圆C上一点，所以
＋(y1＋y2)2＝1，…………………6分
即 (＋y12)()2＋(＋y22)()2+2()()(＋y1y2)=1，
得()2＋()2+2()()(＋y1y2)＝1，故
＋y1y2＝0．…………………14分
又线段AB的中点的坐标为 (，)，
所以 ＋2()2＝(＋y12)+(＋y22)+＋y1y2＝1，
从而线段AB的中点(，)在椭圆＋2y2＝1上． ………………20分
12．已知整数列
满足
，
，前
项依次成等差数列，从第
项起依次
成等比数列．
(1) 求数列
的通项公式；
(2) 求出所有的正整数
，使得
．
解：(1) 设数列前6项的公差为d，则a5=－1+2d，a6=－1+3d，d为整数.
又a5，a6，a7成等比数列，所以(3d－1)2=4(2d－1)，
即 9d2－14d+5=0，得d=1.…………………6分
当n≤6时，an =n－4，
由此a5=1，a6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，
所以，当n≥5时，an =2n-5.
故an =…………………10分
(2) 由（1）知，数列
为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…
当m=1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；
当m=3时等式成立，即 －1+0+1=0；
当m=2、4时等式不成立；…………………15分
当m≥5时，amam+1am+2 =23m-12，am +am+1+am+2=2m-5(23－1)=7×2m-5，
7×2m-5≠23m-12，
所以am +am+1+am+2≠amam+1am+2.
故所求 m= 1，或
m=3．…………………20分
13．如图，圆内接五边形
中，
是外接圆的直径，
，垂足
.
过点
作平行于
的直线，与直线
、
分别交于点
、
．
证明： (1) 点
、
、
、
共圆；
(2) 四边形
是矩形．
证明：(1) 由HG∥CE，得∠BHF=∠BEC，
又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC，
∴ ∠BAF=∠BHF，
∴ 点 A、B、F、H共圆；
…………………8分
(2) 由(1)的结论，得 ∠BHA=∠BFA，
∵ BE⊥AD， ∴BF⊥AC，
又AD是圆的直径，∴ CG⊥AC，…………………14分
由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆，
∴∠BFG =∠DAB =∠BCG， ∴ B、G、C、F共圆.
∴ ∠BGC=∠AFB=900,∴BG⊥GC，
∴ 所以四边形BFCG 是矩形．…………………20分
14．求所有正整数
，
，使得
与
都是完全平方数．
解：若x=y，则x2+3x是完全平方数.
∵ x2＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2，
∴ x2+3x= (x+1)2，∴ x=y =1.………………5分
若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2.
∵ x2+3y是完全平方数，
∴ x2+3y= (x+1)2，得3y = 2x+1，由此可知y是奇数，设y = 2k+1，则x=3k+1，k是正整数.
又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且
(2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16= (2k+4)2，
∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2，
得k=5，从而求得x=16，y=11.…………………15分
若x＜y，同x＞y情形可求得 x=11，y=16.
综上所述，(x，y)= (1，1),(11，16), (16，11)．…………………20分