高一数学必修1试题 高一数学必修一习题

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教学目标：使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理，加强求解一元二次不等式及不等式组，初步训练学生的数形结合能力。

教学重点：利用二次函数的图象，把一元二次方程根的分布 图形问题 代数表达式(不等式组) 参数取值范围。

教学难点：图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。

一、问题的提出

若方程 的两根均为正数，求实数m的取值范围.

变式1：两根一正一负时情况怎样?　高一数学必修1试题 高一数学必修一习题

变式2：两实根均大于5时情况又怎样?

问题：能否从二次 函数图形角度去观察理解?若能试比较两种方法的优劣.

方程 的实根，如若从二次函数图形 角度去观察理解，其实质就是对应的二次函数 的抛物线与 轴交点的横坐标.

一元二次方程实根分布，实质上就是方程的根与某些确定的常数大小关系比较.

二、一元二次方程实根分布

仿上完成下表

一元二次方程 实根分布图解

根的分部

图

象

等价的代数不等式

三、练习

1.m为何实数时，方程 的两根都在-1与1之间.

2、若方程 的两根中，一根小于0，另一根大于2，求a的取值范围.

四、小结

基本类型与相应方法：　高一数学必修1试题 高一数学必修一习题

设 ，则方程 的实根分布的基本类型及相应方法如下表：

1.两实根都小于

2.两实根都大于

3.两实根都在 内

4.两实根都在 外

5.两根中有且只有一根在

内

五作业：

1.关于 的一元二次方程 的一根大于1，另一根小于1.则 的值是　()

(A) 或 　(B) (C) 　(D)

2.方程 为常数)有两实根 ，且 ， ，那么 的取值范围是()

(A) 　(B) 　(C) 或 　(D)无解

3.设 是整数，且方程 的两根都大于 而小于 ，则 .

4.若关于 的方程 的所有根都是比1小的正实数，则实数 的取值 范围是 =

5. 方程 的一根不大于-1，另一根不小于1.试求：

(1)参数 的取值范围;(2)方程两根的平方和的最大值和最小值.

第二课时　一元二次方程实数根分布的应用

一复习　高一数学必修1试题 高一数学必修一习题

填空：

根的分部

图

象

等价的代数不等式

二、例子

例1 已知实数 、 、 满足 ，求 的取值范围.

解 由已知得 且

.

所以 是一元二次方程 的两根. 由 问题可转化为方程 的二根都大于 .令 ，有

即 ，

求得 ，因此 .

例2已知点 、 .若抛物线 与线段 (不包括端点 及 )有两个不同的交点，则 的取值范围是 . (1997年上海市高中数学竞赛)

解： 显然直线 的方程为 即 ，代入抛物线方程并整理得 .

设 ，问题转化函数 的图象和 轴在0到4之间有两个不同的交点，即方程 在 上有两个不相等的实根. 所以

解得 的取值范围是 .

例3关于 的实系数二次方程 的两个实数根为 ，证明：①如果 ，那么 且 ;②如果 且 ，那么 .(1993年全国高考题)

证明 ①设 ，由已知，函数 的图象与 轴在 到2之间有两个不同的交点. 所以

由(3)、(4)得 ，所以 .

由(2)，得 ，结合(1)得 ，所以 . 将(3)+(4)得 ，因此 ，即 .

②由于 且 ，可得 ，所以 ， . 即函数 的图象的对称轴 位于两条直线 ， 之间.

因为 ，

.

所以 . 因此函数 的图象与 轴的交点位于-2和2之间，即 .

作业

1.已知抛物线 为实数. 为何值时， 抛物线与 轴的两个交点都位于点 的右侧?

2.已知 都是正整数，且抛物线 与 轴有两个不同的交点A、B.　若A、B到原点的距离都小于1，求 的最小值.

第三课时 应用提高

例1若方程 在 上有实根，求实数 的取值范围.

解法一：方程 在 上有实根，即方程 在 上有实根，设 ，则根据函数 的图象与 轴的交点的横坐标等价于方程 的根.

(1)两个实根都在 上，如图：

可得 ，解得 ;

(2)只有一个实根在 上，如图：

可得 ，解得

，综合(1)与(2)可得

实数 的 取值范围为

解法二： 方程 在 上有实根，即存在 ，使得等式 成立，要求 的取值范围，也即要求函数 的值域.

设 ，则 ，

可得 .

解法三：令 则 ，则方程 在 上有实根，等价于方程组 在 上有实数解，也即等价于抛物线 与直线 在 上有公共点，如图所示

直观可得： .

解法四：根据解法三的转化思想，也可将原方

程 化成 ，然后令

，从而将原问题等价转化为

抛物线 与直线 在 上有公共

点时，“数形结合法”下去求参数 的取值范围.

根据图形直观可得：当直线 过点 ，

截距 最大;当直线 与抛物线 相切时，截距 最小.

且 .故参数的取值范围为 .

2已知实数 、 、 满 足 ，其中 为正数.对于 .

(1)若 ，求证： ;

(2) 若 ，证明方程 在 内有实根.

证明 (1)由 ，求得 ，所以

又由 ，因此 ，故 .

(2)要证明方程 在 内有实根，只须证明

或

但两者都不易证明. 由 ，结合第(1)题 ，对 进行讨论：

当 时，有 . 只要证明 和 中有一个大于零即可.

若 ，则 成立，问题得证;

若 ，由 求得 ，所以

.

由 ，知 ，命题得证.

故 当 时，方程 在 内有实根.

同理可证，当 时，方程 在 内也有