高一数学必修1试题 高一数学必修一习题
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教学目标:使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理,加强求解一元二次不等式及不等式组,初步训练学生的数形结合能力。
教学重点:利用二次函数的图象,把一元二次方程根的分布 图形问题 代数表达式(不等式组) 参数取值范围。
教学难点:图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。
一、问题的提出
若方程 的两根均为正数,求实数m的取值范围.
变式1:两根一正一负时情况怎样? 高一数学必修1试题 高一数学必修一习题
变式2:两实根均大于5时情况又怎样?
问题:能否从二次 函数图形角度去观察理解?若能试比较两种方法的优劣.
方程 的实根,如若从二次函数图形 角度去观察理解,其实质就是对应的二次函数 的抛物线与 轴交点的横坐标.
一元二次方程实根分布,实质上就是方程的根与某些确定的常数大小关系比较.
二、一元二次方程实根分布
仿上完成下表
一元二次方程 实根分布图解
根的分部
图
象
等价的代数不等式
三、练习
1.m为何实数时,方程 的两根都在-1与1之间.
2、若方程 的两根中,一根小于0,另一根大于2,求a的取值范围.
四、小结
基本类型与相应方法: 高一数学必修1试题 高一数学必修一习题
设 ,则方程 的实根分布的基本类型及相应方法如下表:
1.两实根都小于
2.两实根都大于
3.两实根都在 内
4.两实根都在 外
5.两根中有且只有一根在
内
五作业:
1.关于 的一元二次方程 的一根大于1,另一根小于1.则 的值是 ()
(A) 或 (B) (C) (D)
2.方程 为常数)有两实根 ,且 , ,那么 的取值范围是()
(A) (B) (C) 或 (D)无解
3.设 是整数,且方程 的两根都大于 而小于 ,则 .
4.若关于 的方程 的所有根都是比1小的正实数,则实数 的取值 范围是 =
5. 方程 的一根不大于-1,另一根不小于1.试求:
(1)参数 的取值范围;(2)方程两根的平方和的最大值和最小值.
第二课时 一元二次方程实数根分布的应用
一复习 高一数学必修1试题 高一数学必修一习题
填空:
根的分部
图
象
等价的代数不等式
二、例子
例1 已知实数 、 、 满足 ,求 的取值范围.
解 由已知得 且
.
所以 是一元二次方程 的两根. 由 问题可转化为方程 的二根都大于 .令 ,有
即 ,
求得 ,因此 .
例2已知点 、 .若抛物线 与线段 (不包括端点 及 )有两个不同的交点,则 的取值范围是 . (1997年上海市高中数学竞赛)
解: 显然直线 的方程为 即 ,代入抛物线方程并整理得 .
设 ,问题转化函数 的图象和 轴在0到4之间有两个不同的交点,即方程 在 上有两个不相等的实根. 所以
解得 的取值范围是 .
例3关于 的实系数二次方程 的两个实数根为 ,证明:①如果 ,那么 且 ;②如果 且 ,那么 .(1993年全国高考题)
证明 ①设 ,由已知,函数 的图象与 轴在 到2之间有两个不同的交点. 所以
由(3)、(4)得 ,所以 .
由(2),得 ,结合(1)得 ,所以 . 将(3)+(4)得 ,因此 ,即 .
②由于 且 ,可得 ,所以 , . 即函数 的图象的对称轴 位于两条直线 , 之间.
因为 ,
.
所以 . 因此函数 的图象与 轴的交点位于-2和2之间,即 .
作业
1.已知抛物线 为实数. 为何值时, 抛物线与 轴的两个交点都位于点 的右侧?
2.已知 都是正整数,且抛物线 与 轴有两个不同的交点A、B. 若A、B到原点的距离都小于1,求 的最小值.
第三课时 应用提高
例1若方程 在 上有实根,求实数 的取值范围.
解法一:方程 在 上有实根,即方程 在 上有实根,设 ,则根据函数 的图象与 轴的交点的横坐标等价于方程 的根.
(1)两个实根都在 上,如图:
可得 ,解得 ;
(2)只有一个实根在 上,如图:
可得 ,解得
,综合(1)与(2)可得
实数 的 取值范围为
解法二: 方程 在 上有实根,即存在 ,使得等式 成立,要求 的取值范围,也即要求函数 的值域.
设 ,则 ,
可得 .
解法三:令 则 ,则方程 在 上有实根,等价于方程组 在 上有实数解,也即等价于抛物线 与直线 在 上有公共点,如图所示
直观可得: .
解法四:根据解法三的转化思想,也可将原方
程 化成 ,然后令
,从而将原问题等价转化为
抛物线 与直线 在 上有公共
点时,“数形结合法”下去求参数 的取值范围.
根据图形直观可得:当直线 过点 ,
截距 最大;当直线 与抛物线 相切时,截距 最小.
且 .故参数的取值范围为 .
2已知实数 、 、 满 足 ,其中 为正数.对于 .
(1)若 ,求证: ;
(2) 若 ,证明方程 在 内有实根.
证明 (1)由 ,求得 ,所以
又由 ,因此 ,故 .
(2)要证明方程 在 内有实根,只须证明
或
但两者都不易证明. 由 ,结合第(1)题 ,对 进行讨论:
当 时,有 . 只要证明 和 中有一个大于零即可.
若 ,则 成立,问题得证;
若 ,由 求得 ,所以
.
由 ,知 ,命题得证.
故 当 时,方程 在 内有实根.
同理可证,当 时,方程 在 内也有
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